"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Произведения и суммы синусов и косинусов можно заменять друг на друга с помощью специальных тождеств. Такие преобразования упрощают тригонометрические выражения, помогают доказывать тождества и решать уравнения. Для произведения используются сумма и разность аргументов, а при обратном переходе — их полусумма и полуразность. Главные ориентиры выбора формулы — вид функций и знак между ними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование произведения в сумму — замена произведения тригонометрических функций суммой или разностью синусов и косинусов. Например, произведение sin α · cos β можно представить через синусы суммы и разности аргументов. Это нужно, чтобы упростить вычисления и привести выражение к удобному виду.
Формулы произведения в сумму — четыре тождества для произведений синусов и косинусов, получаемые из формул сложения. В них α и β обозначают любые углы или выражения, играющие роль аргументов. По виду множителей можно выбрать нужное тождество без полного вывода.
Преобразование суммы в произведение — обратная замена суммы или разности синусов и косинусов произведением. Такой переход часто превращает сложное выражение в произведение двух более простых множителей. После этого удобно сокращать выражение или применять правило нулевого произведения.
Формулы суммы и разности в произведение — четыре тождества, в которых аргументы исходных функций заменяются их полусуммой и полуразностью. Полусумма равна (α + β)/2, а полуразность — (α − β)/2. Эти обозначения помогают не перепутать аргументы в результате.
Формулы произведения в сумму выводятся из формул сложения синуса и косинуса. Если записать sin(α + β) и sin(α − β), то после раскрытия скобок смешанные произведения появляются с разными знаками: sin α · cos β и cos α · sin β. Складывая или вычитая эти равенства, выделяют нужное произведение, а деление на 2 даёт множитель ½.
Произведение синуса и косинуса превращается в полусумму двух синусов, потому что именно в формулах сложения синуса возникают слагаемые такого вида. Для cos α · sin β знаки при sin(α − β) меняются, поэтому результат содержит разность синусов. У двух одинаковых функций смешанные слагаемые уничтожаются иначе: у произведения косинусов остаются сумма и разность косинусов, а у произведения синусов один из них вычитается.
Обратные формулы получают из тех же формул сложения, но выбирают новые углы u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2. Тогда u + v = α, а u − v = β, поэтому сложение или вычитание формул для u и v возвращает функции с исходными аргументами α и β. Вынесенный множитель 2 появляется потому, что одинаковые произведения складываются дважды.
Формулу выбирают по трём признакам: какие функции стоят в выражении, какой знак расположен между ними и совпадают ли аргументы. В произведении сначала определяют тип пары, а затем подставляют сумму и разность аргументов. В сумме или разности функций сразу вычисляют полусумму и полуразность, после чего сверяют знак перед получившимся произведением.
Множитель ½ нельзя отбрасывать: он компенсирует удвоение, возникшее при сложении формул. При обратном переходе, наоборот, нужен множитель 2, иначе результат будет вдвое меньше исходного. Полусумму и полуразность лучше находить отдельно, особенно если аргументы содержат несколько слагаемых.
| Вид выражения | Формула | Основной ориентир для выбора |
|---|---|---|
| sin α · cos β | ½(sin(α + β) + sin(α − β)) | Синус и косинус; сумма синусов |
| cos α · sin β | ½(sin(α + β) − sin(α − β)) | Косинус и синус; разность синусов |
| cos α · cos β | ½(cos(α − β) + cos(α + β)) | Два косинуса; сумма косинусов |
| sin α · sin β | ½(cos(α − β) − cos(α + β)) | Два синуса; разность косинусов |
| sin α + sin β | 2cos((α + β)/2)sin((α − β)/2) | Сумма синусов |
| sin α − sin β | 2cos((α + β)/2)sin((α − β)/2) | Разность синусов |
| cos α + cos β | 2cos((α + β)/2)cos((α − β)/2) | Сумма косинусов |
| cos α − cos β | −2sin((α + β)/2)sin((α − β)/2) | Разность косинусов |
Для первых четырёх строк сначала определите пару множителей, затем найдите α + β и α − β. Для последних строк вычислите полусумму и полуразность аргументов, а потом выберите нужные синус или косинус. Особое внимание уделяйте минусу в формуле разности косинусов.
Нужно заменить произведение синуса и косинуса суммой синусов. Аргументы здесь равны 7x и 3x, поэтому достаточно найти их сумму и разность.
Ответ: sin 7x · cos 3x = ½(sin 10x + sin 4x).
В выражении есть произведение косинусов, поэтому сначала преобразуем только его. После раскрытия произведения появится слагаемое cos 4x, которое можно будет сократить с уже имеющимся.
Ответ: cos 6x.
Разность синусов удобно превратить в произведение, потому что тогда можно применить правило нулевого произведения. Полусумма аргументов равна 5x, а полуразность — 2x.
Ответ: sin 7x − sin 3x = 2cos 5x · sin 2x; x = π/10 + πk/5 или x = πk/2, k ∈ Z.
Пропуск множителя ½ или 2. Ошибку допускают, когда запоминают только вид функций и не учитывают удвоение при сложении формул. Проверьте себя обратной подстановкой или оцените коэффициент перед раскрытием скобок.
Путаница знаков в формулах произведения. Особенно часто смешивают разность косинусов и разность синусов: у синусов результатом служат косинусы, а у cos α · cos β сначала стоит разность аргументов. Раскройте результат по формулам сложения — неверный знак сразу обнаружится.
Неверные полусумма и полуразность. Иногда аргументы складывают или вычитают, но забывают разделить результат на 2. Записывайте отдельно (α + β)/2 и (α − β)/2, а затем подставляйте их в формулу.
Механический выбор формулы. Если не учесть порядок функций и знак между слагаемыми, можно получить похожее, но неверное выражение. Перед преобразованием назовите тип пары и сравните его со строкой таблицы.
Перед изучением темы нужны формулы сложения синуса и косинуса, основные тригонометрические тождества и правила действий с алгебраическими выражениями. Именно из формул сложения выводятся все четыре преобразования произведения в сумму.
Новые тождества применяются при упрощении выражений, доказательстве равенств и решении тригонометрических уравнений. Они также помогают преобразовывать суммы гармонических колебаний, когда несколько синусоид нужно представить одной более удобной формой.
Как быстро определить, какую формулу произведения в сумму нужно применить?
Сначала определите названия функций: синус или косинус, затем посмотрите на знак между множителями. Для разных функций результат содержит синусы, а для двух одинаковых функций — косинусы; у произведения синусов между косинусами стоит минус.
Почему в формулах произведения в сумму появляется множитель 1/2?
При сложении двух формул сложения одинаковое выражение появляется дважды. Поэтому, чтобы восстановить исходное произведение, сумму нужно разделить на 2.
Как не перепутать сумму и разность аргументов?
Для произведений запоминайте ориентир: у косинусов сначала идёт разность аргументов, затем сумма, а у синусов между ними стоит минус. Можно также проверить формулу, раскрыв скобки по формулам сложения.
Почему в формуле для разности косинусов появляется знак минус?
Разность косинусов получается вычитанием формул сложения. При этом смешанные слагаемые складываются с одинаковым знаком, а после вынесения множителя перед произведением синусов появляется минус.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы содержат не только x, но и числа или другие выражения?
Да, формулы верны для любых углов и выражений, которые выступают аргументами. Например, вместо α и β можно подставить 3x + 1 и 2x − 5, аккуратно вычисляя их сумму, разность и половины.
25. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. Обратное преобразование
