"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Формулы двойного угла выражают sin(2x), cos(2x), tg(2x) и ctg(2x) через функции от x. Они получаются из формул сложения, если представить 2x как x + x. Эти равенства помогают быстро вычислять значения, выбирать удобную форму косинуса, упрощать выражения и решать тригонометрические уравнения. При работе с тангенсом, котангенсом и дробями необходимо проверять существование функций и ненулевые знаменатели.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус двойного угла — значение функции sin(2x), записанное через sin x и cos x: sin(2x) = 2sin x cos x. Такая запись позволяет найти синус удвоенного угла, если известны значения функций для угла x.
Косинус двойного угла — значение cos(2x), выраженное через sin x и cos x или их квадраты. Для него есть несколько равносильных форм, поэтому можно выбрать ту, где используются данные из задачи.
Тангенс двойного угла — значение tg(2x), связанное с тангенсом исходного угла формулой tg(2x) = 2tg x / (1 − tg²x). Формула удобна при известном tg x, но применима только там, где все входящие функции существуют и знаменатель не равен нулю.
Котангенс двойного угла — значение ctg(2x), выраженное через ctg x: ctg(2x) = (ctg²x − 1) / (2ctg x). Здесь также нужно проверять область допустимых значений, особенно ненулевой знаменатель.
Аргумент 2x означает угол, вдвое больший x, но для вывода формулы его удобно представить как сумму одинаковых углов: 2x = x + x. Поэтому к нему применяются формулы сложения, уже известные для sin(a + b), cos(a + b), tg(a + b) и ctg(a + b). Такой приём превращает общий закон сложения в специальные формулы двойного угла.
Начнём с синуса: sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x. Оба слагаемых одинаковы, поэтому их сумма равна 2sin x cos x. Следовательно, sin(2x) = 2sin x cos x, и множитель cos x появляется не случайно, а из самой формулы сложения.
Для косинуса получаем cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos²x − sin²x. Если заменить cos²x на 1 − sin²x, получится cos(2x) = 1 − 2sin²x. Если же заменить sin²x на 1 − cos²x, получим cos(2x) = 2cos²x − 1; все три записи равносильны благодаря sin²x + cos²x = 1.
Чтобы вывести тангенс, делим формулу синуса двойного угла на формулу его косинуса: tg(2x) = 2sin x cos x / (cos²x − sin²x). При cos x ≠ 0 делим числитель и знаменатель на cos²x и получаем 2tg x / (1 − tg²x). Кроме существования tg x, требуется 1 − tg²x ≠ 0, иначе tg(2x) не определён.
Аналогично котангенс равен cos(2x) / sin(2x), поэтому ctg(2x) = (cos²x − sin²x) / (2sin x cos x). При sin x ≠ 0 делим на sin²x и получаем (ctg²x − 1) / (2ctg x). Нулевые знаменатели нельзя игнорировать: деление на них недопустимо, а исходная функция в соответствующей точке может не существовать.
| Функция | Основная формула | Равносильные формы | Условия применимости |
|---|---|---|---|
| sin(2x) | 2sin x cos x | — | Функции sin x и cos x существуют для любого действительного x |
| cos(2x) | cos²x − sin²x | 1 − 2sin²x; 2cos²x − 1 | Функции sin x и cos x существуют для любого действительного x |
| tg(2x) | 2tg x / (1 − tg²x) | — | cos x ≠ 0; 1 − tg²x ≠ 0 |
| ctg(2x) | (ctg²x − 1) / (2ctg x) | — | sin x ≠ 0; 2ctg x ≠ 0 |
| Общие ограничения | — | — | Проверяются существование исходных функций и ненулевые знаменатели |
Сначала определите, какие значения известны в условии, а затем выберите соответствующую строку. Для косинуса особенно полезны две формы с единицей: они позволяют не находить вторую основную функцию. В формулах для тангенса и котангенса ограничения проверяют до подстановки и сокращения.
Известны обе функции угла α, поэтому искать дополнительные значения не требуется. Нужно применить прямую формулу синуса двойного угла. Она содержит произведение sin α и cos α.
Ответ: sin(2α) = 24/25. Знак результата совпадает со знаком произведения данных значений, поэтому дополнительное определение четверти здесь не требуется.
Известен только синус, значит форма cos²α − sin²α потребовала бы сначала найти cos α. Удобнее выбрать равносильную формулу 1 − 2sin²α, которая использует единственное данное значение.
Ответ: cos(2α) = 7/9. Знание знака или значения cos α для этого способа не нужно.
Сначала определим ограничения исходной дроби: знаменатель sin 2x не должен быть равен нулю. Затем заменим числитель и знаменатель формулами двойного угла и только после этого выполним сокращение.
Ответ: tg x, при sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0. Запись tg x сама требует cos x ≠ 0, но условие sin x ≠ 0 нужно сохранить из исходной дроби.
Ошибка: записывают sin(2x) = 2sin x. Так происходит из-за ошибочного представления двойного угла как линейного умножения значения функции. Проверка проста: формула сложения даёт два слагаемых, поэтому правильный результат содержит cos x.
Ошибка: используют cos²x − sin²x, когда известен только один из синуса и косинуса. Это приводит к лишним вычислениям или неверному знаку найденной функции. Проверьте условие и выберите 1 − 2sin²x либо 2cos²x − 1.
Ошибка: применяют формулу tg(2x) при 1 − tg²x = 0 или при несуществующем tg x. Причина — проверяют только знакомые числа, но забывают область определения. До подстановки убедитесь, что cos x ≠ 0 и знаменатель формулы не равен нулю.
Ошибка: сокращают множитель после подстановки формул двойного угла и забывают исключённые значения. Сокращение разрешено только при ненулевом множителе. Сначала выпишите ОДЗ исходного выражения, а затем перенесите её в ответ.
До изучения темы нужны формулы сложения, основное тригонометрическое тождество sin²x + cos²x = 1 и определения sin, cos, tg и ctg. Именно эти знания объясняют вывод всех формул и их ограничения.
Формулы двойного угла применяются при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений. Они позволяют заменить функцию от 2x функциями от x или, наоборот, упростить произведения.
С ними связаны формулы понижения степени, а также преобразования произведений и сумм тригонометрических функций. Например, равенства для cos(2x) сразу дают выражения для sin²x и cos²x через косинус двойного угла.
Почему в формуле sin(2x) появляется множитель cos x?
Потому что 2x представляют как x + x и применяют формулу sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. При a = b = x два одинаковых слагаемых sin x cos x складываются, поэтому получается 2sin x cos x.
Какую из трёх формул для cos(2x) лучше выбирать в конкретной задаче?
Выбирайте форму, в которой используется уже известное значение. Если известен синус, удобна формула 1 − 2sin²x, а если косинус — 2cos²x − 1. При известных и синусе, и косинусе можно использовать cos²x − sin²x.
Можно ли применять формулу tg(2x), если tg x не существует?
Нет, подстановка в формулу tg(2x) = 2tg x / (1 − tg²x) невозможна. Тангенс x существует только при cos x ≠ 0; в таком случае нужно преобразовывать выражение другим способом и отдельно проверять, существует ли tg(2x).
Почему формула для tg(2x) имеет знаменатель 1 − tg²x?
Её получают делением 2sin x cos x на cos²x − sin²x и делением числителя и знаменателя на cos²x. Тогда знаменатель превращается в 1 − tg²x. Он не должен быть равен нулю, поскольку это соответствует отсутствию тангенса двойного угла.
Как не потерять ограничения при сокращении выражений с формулами двойного угла?
Сначала выпишите область допустимых значений исходного выражения, то есть условия существования функций и ненулевых знаменателей. После сокращения сохраните эти ограничения: сокращение не возвращает значения, исключённые в исходной дроби.
24. Тригонометрические функции двойного угла
