23. Тангенс суммы и тангенс разности двух углов

Определения и обозначения

Тангенс суммы двух углов — это отношение синуса суммы к косинусу суммы: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). Он существует, если cos(α + β) ≠ 0. Такое обозначение позволяет находить тангенс общего угла через свойства его частей.

Тангенс разности двух углов — отношение синуса разности к косинусу разности: tg(α − β) = sin(α − β) / cos(α − β). Условие существования: cos(α − β) ≠ 0. Знак между углами нужно сохранять: α − β и β − α дают разные углы.

Формула тангенса суммы выражает тангенс суммы через тангенсы слагаемых: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β). Она удобна, когда значения tg α и tg β известны или легко находятся по таблице.

Формула тангенса разности имеет вид tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β). С её помощью не требуется отдельно вычислять синус и косинус разности. Перед применением оба исходных тангенса должны существовать.

Как это устроено

Начнём с определения: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β). Подставим формулы синуса и косинуса суммы: числитель станет sin α cos β + cos α sin β, а знаменатель — cos α cos β − sin α sin β. Деление каждого члена на cos α cos β превращает дробь в (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).

Для разности действуем так же: tg(α − β) = sin(α − β) / cos(α − β). Формулы дают числитель sin α cos β − cos α sin β и знаменатель cos α cos β + sin α sin β. После деления на cos α cos β получаем (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).

Разные знаки в знаменателях появляются не случайно. В формуле косинуса суммы произведения sin α sin β вычитаются, поэтому после сокращения возникает 1 − tg α · tg β. В формуле косинуса разности эти произведения складываются, и получается 1 + tg α · tg β.

Есть два уровня условий применимости. Во-первых, должны существовать tg α и tg β, то есть cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0. Во-вторых, знаменатель соответствующей дроби не должен быть нулём: для суммы 1 − tg α · tg β ≠ 0, для разности 1 + tg α · tg β ≠ 0.

Алгоритм вычисления прост: определите, стоит ли сумма или разность, выберите формулу и подставьте известные тангенсы. Затем отдельно вычислите числитель и знаменатель, а в конце проверьте ограничения. Если знаменатель равен нулю, записанное значение недопустимо: тангенс итогового угла не существует.

Формулы тангенса суммы и разности углов

Сначала найдите в таблице нужный случай: сумма или разность. Затем проверьте условия и подставьте значения, не забывая о скобках около отрицательных чисел. Строка сравнения знаков помогает быстро проконтролировать формулу перед вычислением.

Разбор задач

Задача 1. Найти tg(π/4 + π/6)

Нужно применить формулу суммы, потому что углы соединены знаком плюс. Табличные значения равны tg(π/4) = 1 и tg(π/6) = 1/√3. После подстановки проверим, что знаменатель не обращается в ноль.

1. Записываем формулу: tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
2. Подставляем значения: (1 + 1/√3) / (1 − 1/√3).
3. Умножаем числитель и знаменатель на √3: (√3 + 1) / (√3 − 1), затем рационализируем дробь и получаем 2 + √3.

Ответ: tg(π/4 + π/6) = 2 + √3.

Задача 2. Дано: tg α = 1/2, tg β = 1/3. Найти tg(α + β)

Здесь оба исходных тангенса уже известны, поэтому остаётся использовать формулу суммы. Вместе с вычислением нужно проверить допустимость знаменателя. Это исключает случай, когда тангенс суммы не существует.

1. Подставляем данные: tg(α + β) = (1/2 + 1/3) / (1 − (1/2) · (1/3)).
2. Вычисляем числитель: 1/2 + 1/3 = 5/6, а знаменатель: 1 − 1/6 = 5/6.
3. Делим 5/6 на 5/6 и получаем 1; поскольку знаменатель равен 5/6, он не нулевой.

Ответ: tg(α + β) = 1, тангенс суммы существует.

Задача 3. Решить уравнение tg(x + π/4) = 3 на [0; π]

Выразим тангенс суммы через tg x, используя tg(π/4) = 1. При этом x ≠ π/2 + πk, а знаменатель 1 − tg x не должен быть нулём. После решения уравнения отберём корни, принадлежащие заданному промежутку.

1. Пусть t = tg x. Тогда (t + 1) / (1 − t) = 3, где t ≠ 1.
2. Решаем: t + 1 = 3 − 3t, поэтому 4t = 2 и t = 1/2.
3. Получаем x = arctg(1/2) + πk. На [0; π] подходит только x = arctg(1/2); точка π/2 исключена и корнем не является.

Ответ: x = arctg(1/2).

Типичные ошибки

Частая ошибка — поставить в знаменателе для суммы плюс, а для разности минус. Так происходит при механическом запоминании знаков без связи с формулами косинуса. Проверяйте себя правилом: знак в знаменателе противоположен знаку между углами.

Иногда вычисляют дробь, не проверив знаменатель. Нулевой знаменатель означает, что тангенс итогового угла не существует, поэтому обычное деление недопустимо. Перед сокращением отдельно найдите значение знаменателя.

Нельзя применять формулу, если tg α или tg β не определён. Такая ситуация возникает, когда косинус соответствующего угла равен нулю. Сначала убедитесь, что оба исходных угла имеют существующие тангенсы.

При разности легко потерять скобки, особенно если один из тангенсов отрицателен. Например, tg α − tg β при tg β = −2 превращается в tg α − (−2), а не в tg α − 2. Перепишите подстановку со скобками и только потом выполняйте действия.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение тангенса, равенство tg α = sin α / cos α и формулы синуса и косинуса суммы и разности. Они объясняют не только вид результата, но и условия его существования.

Формулы позволяют преобразовывать тригонометрические выражения, в которых встречаются суммы и разности углов. Они также помогают решать тригонометрические уравнения, заменяя сложный аргумент выражением через tg x.

В геометрии эти равенства связывают углы и их числовые характеристики, а в математическом анализе используются при преобразовании функций. Поэтому навык проверки области допустимых значений важен не меньше, чем запоминание самой формулы.

Что запомнить

• tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β).
• tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β).
• Перед применением формулы нужно убедиться, что tg α и tg β существуют.
• Знаменатель формулы не должен быть равен нулю.
• Для суммы в знаменателе стоит знак минус, для разности — знак плюс.
• Формулы выводятся из формул синуса и косинуса суммы и разности.