"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Муравин Г.К., Муравина О.В.
Синус и косинус суммы или разности углов выражаются через синусы и косинусы каждого угла отдельно. Эти формулы позволяют вычислять значения нестандартных углов, преобразовывать тригонометрические выражения и доказывать тождества. Главное — запомнить четыре правила: у синуса знак сохраняется, а у косинуса меняется на противоположный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы двух углов — это выражение sin(α + β), которое раскрывается по правилу sin α · cos β + cos α · sin β. Здесь α и β — любые углы. Формула нужна, чтобы находить синус сложного угла через известные значения.
Синус разности двух углов — выражение sin(α − β), равное sin α · cos β − cos α · sin β. В произведениях сохраняется тот же порядок, что и для суммы, но между ними ставится минус. Это позволяет вычислять синус угла, представленного разностью табличных углов.
Косинус суммы двух углов — выражение cos(α + β), для которого справедливо равенство cos α · cos β − sin α · sin β. В отличие от синуса, знак между произведениями меняется на противоположный. Правило используют при преобразовании и вычислении косинусов сложных углов.
Косинус разности двух углов — выражение cos(α − β), равное cos α · cos β + sin α · sin β. При разности внутри скобок между произведениями появляется плюс. Все формулы одинаково применимы к углам в градусах и радианах.
Поворот на угол α + β можно выполнить в два этапа: сначала повернуть точку на α, а затем ещё на β. Последовательность не меняет общего результата, потому что при поворотах вокруг одного центра складываются сами углы. Поэтому координаты после одного поворота на α + β можно получить и через две последовательные операции.
Рассмотрим единичную окружность: у точки, соответствующей углу α, координаты cos α и sin α. После дополнительного поворота на β первая координата формируется из двух частей: одна связана с cos α и cos β, другая — с sin α и sin β. Вторая координата также складывается из двух произведений, что и приводит к формулам для косинуса и синуса суммы.
Для синуса сумма произведений получает знак плюс, потому что вторая координата нового радиус-вектора складывается из соответствующих составляющих. Для косинуса одна составляющая направлена противоположно другой по горизонтали, поэтому появляется минус. Так геометрия единичной окружности объясняет не только сами произведения, но и знак между ними.
Формулу разности получают из формулы суммы, записав α − β как α + (−β). Синус противоположного угла меняет знак: sin(−β) = −sin β, а косинус его сохраняет: cos(−β) = cos β. Подстановка этих свойств превращает формулу суммы в формулу разности.
Изменение знака у косинуса связано именно с этим различием чётности функций. Синус — нечётная функция, поэтому при замене угла на противоположный его знак меняется; косинус — чётная, поэтому не меняется. Если угол нестандартный, его удобно разложить на известные углы и применить нужную формулу.
| Выражение | Формула | Знак между слагаемыми |
|---|---|---|
| sin(α + β) | sin α · cos β + cos α · sin β | знак суммы сохраняется |
| sin(α − β) | sin α · cos β − cos α · sin β | знак разности сохраняется |
| cos(α + β) | cos α · cos β − sin α · sin β | знак меняется на противоположный |
| cos(α − β) | cos α · cos β + sin α · sin β | знак меняется на противоположный |
Сначала определите, какая функция стоит перед скобками и является ли внутри сумма или разность. Затем подставьте значения синусов и косинусов отдельных углов, не меняя порядок множителей. Для быстрой проверки вспомните: у синуса знак сохраняется, у косинуса становится противоположным.
Представим 75° как 45° + 30°, потому что значения синуса и косинуса этих углов известны. Применяем формулу синуса суммы. После подстановки останется упростить выражение с корнями.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)⁄4. Выбранное разложение удобно, потому что оба слагаемых являются табличными углами.
Угол 15° удобно записать как 45° − 30°. Для косинуса разности используется формула с плюсом между произведениями, поэтому знак нужно не переносить механически из выражения в скобках. Далее подставляем табличные значения.
Ответ: cos 15° = (√6 + √2)⁄4. Положительный результат согласуется с тем, что угол 15° находится в первой четверти.
Рассмотрим выражение sin(α + β)cos β − cos(α + β)sin β. Его структура похожа на формулу синуса разности: sin X · cos Y − cos X · sin Y. Значит, можно применить её в обратную сторону, взяв X = α + β и Y = β.
Ответ: sin α. При обратном применении формул полезно сначала сопоставить выражение с общей схемой, а уже потом выполнять сокращение углов.
Записывают sin(α + β) как sin α + sin β, потому что ошибочно считают синус распределительным относительно сложения. Так делать нельзя: в правильной формуле есть произведения синуса и косинуса. Проверка проста — подставьте α = β = 0: неверная запись совпадёт здесь случайно, поэтому лучше сверять с таблицей формул.
В формуле косинуса суммы ставят плюс перед произведением синусов, перенося знак из формулы косинуса разности. Причина ошибки — запоминание только одного случая. Проверьте себя правилом: у косинуса знак всегда противоположен знаку внутри скобок.
Перепутывают порядок множителей или углов в произведениях, например заменяют sin α · cos β на sin β · cos α. Хотя множители внутри одного произведения можно переставить, менять углы между синусом и косинусом нельзя. Полезно подписать: первый угол идёт сначала в каждом произведении, а функции чередуются.
Неверно раскрывают разность углов или смешивают градусы с радианами. При вычислениях сначала запишите разложение угла и единицы измерения, а затем подставляйте значения. Дополнительно оцените знак результата по четверти, чтобы заметить очевидную ошибку.
Перед изучением формул нужны единичная окружность, значения синуса и косинуса табличных углов, а также чётность и нечётность тригонометрических функций. Формулы сложения применяются для преобразования выражений и доказательства тождеств. На их основе выводятся формулы двойного угла, понижения степени и решаются тригонометрические уравнения.
Почему sin(α + β) не равен sin α + sin β?
Синус не является распределительной функцией: значение синуса суммы зависит от обоих углов одновременно. Правильная формула содержит произведения: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β.
Как быстро запомнить знаки в четырёх формулах?
В формулах синуса знак между слагаемыми совпадает со знаком внутри скобок. В формулах косинуса знак меняется на противоположный: при сумме появляется минус, при разности — плюс.
Как получить формулу для разности из формулы для суммы?
Представьте разность как сумму с противоположным углом: α − β = α + (−β). Затем используйте sin(−β) = −sin β и cos(−β) = cos β.
Как выбрать разложение угла для вычисления значения?
Представьте угол суммой или разностью известных табличных углов, например 45° и 30°. Выбирайте вариант, при котором значения синуса и косинуса обоих углов легко вспомнить.
Можно ли применять эти формулы, если углы заданы в радианах?
Да, формулы работают и в градусах, и в радианах. Нужно только не смешивать единицы измерения и использовать соответствующие табличные значения.
22. Синус и косинус суммы и разности двух углов
