21. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Определения и обозначения

Тангенс числа x — это отношение синуса к косинусу того же аргумента: tg x = sin x / cos x. Он определён только при cos x ≠ 0. Это определение позволяет заменять тангенс дробью и связывать его с другими функциями.

Котангенс числа x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x. Условие существования котангенса — sin x ≠ 0. Формула нужна, чтобы выражать котангенс через синус и косинус и выполнять преобразования.

Основное тригонометрическое тождество имеет вид sin²x + cos²x = 1 и выполняется при любом x. Оно следует из единичной окружности: координаты точки имеют сумму квадратов, равную единице. С его помощью находят неизвестную тригонометрическую функцию.

Тригонометрические зависимости одного аргумента — это равенства, связывающие sin x, cos x, tg x и ctg x. Каждая такая формула действует только при указанных ограничениях на x. Поэтому зависимость состоит не только из равенства, но и из условия его применимости.

Как это устроено

Чтобы получить формулу для тангенса, начнём с sin²x + cos²x = 1. При cos x ≠ 0 разделим обе части на cos²x: sin²x / cos²x + 1 = 1 / cos²x. Так как sin²x / cos²x = tg²x, получаем 1 + tg²x = 1 / cos²x.

Аналогично выводится зависимость для котангенса. При sin x ≠ 0 делим основное тождество на sin²x и получаем 1 + cos²x / sin²x = 1 / sin²x. Дробь cos²x / sin²x равна ctg²x, поэтому 1 + ctg²x = 1 / sin²x.

Произведение тангенса и котангенса можно раскрыть по определениям: tg x · ctg x = (sin x / cos x) · (cos x / sin x). Ненулевые множители сокращаются, и остаётся 1. Но это рассуждение возможно только тогда, когда одновременно sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0, то есть обе функции определены.

Выразить одну функцию через другую можно непосредственно из определения: sin x = tg x · cos x, а cos x = ctg x · sin x. Если известен только тангенс, используют тождество: cos²x = 1 / (1 + tg²x), sin²x = tg²x / (1 + tg²x). После извлечения корня знак выбирают по четверти, поскольку синус и косинус могут быть положительными или отрицательными.

Область допустимых значений проверяют до преобразований и после них. Например, запись tg x = sin x / cos x запрещена при cos x = 0, а сокращение на sin x требует sin x ≠ 0. Если забыть эти ограничения, можно получить формулу, которая верна лишь на части исходной области или вообще подменить исходное выражение.

Зависимости между тригонометрическими функциями одного аргумента

Сначала найдите в таблице функции, которые уже есть в выражении или условии задачи. Затем проверьте ограничение во втором столбце и только после этого применяйте равенство. Третий столбец подсказывает, какую функцию удобно выразить.

Разбор задач

Задача 1

Условие: упростить выражение sin²x + cos²x + 3. В нём присутствуют квадраты синуса и косинуса одного аргумента. Поэтому сначала нужно найти часть, к которой непосредственно применяется основное тождество.

1. Заменяем sin²x + cos²x на 1 согласно основному тригонометрическому тождеству.
2. Получаем 1 + 3.
3. Складываем постоянные числа: 1 + 3 = 4.

Ответ: 4. Ограничения на x не нужны, потому что основное тождество верно для любого аргумента.

Задача 2

Условие: найти 1 + tg²x, если cos x = ½. Сначала проверим условие применимости формулы: косинус равен ½, значит, он не равен нулю. Можно использовать равенство 1 + tg²x = 1 / cos²x.

1. Подставляем известное значение: 1 + tg²x = 1 / (½)².
2. Возводим дробь в квадрат: (½)² = ¼.
3. Делим 1 на ¼ и получаем 4.

Ответ: 1 + tg²x = 4. Находить отдельно тангенс не требуется: нужная комбинация уже есть в формуле.

Задача 3

Условие: найти sin x и cos x, если tg x = ¾ и x принадлежит второй четверти. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Это поможет выбрать правильные знаки после нахождения квадратов функций.

1. Из tg x = sin x / cos x следует sin x = ¾ cos x.
2. Подставляем это в основное тождество: (¾cos x)² + cos²x = 1, поэтому 25/16 cos²x = 1 и cos²x = 16/25.
3. Получаем |cos x| = ⅘ и |sin x| = ⅗. Во второй четверти cos x = −⅘, sin x = ⅗.

Ответ: sin x = ⅗, cos x = −⅘. Проверка: отношение (⅗) / (−⅘) равно −¾, поэтому такой знак тангенса соответствует второй четверти.

Типичные ошибки

Записывают tg x = sin x / cos x без условия cos x ≠ 0. Ошибка возникает, когда определение воспринимают как обычную дробь без проверки знаменателя. Проверьте, не обращается ли косинус в ноль при заданных значениях x.

Считают, что tg x · ctg x = 1 при любом x. В отдельных точках одна или обе функции не определены, поэтому произведение там не имеет значения. Нужно одновременно проверить sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.

Теряют знак после возведения в квадрат. Из sin²x = 9/25 следует sin x = ±⅗, а не только ⅗. Выберите знак по четверти или по дополнительному условию задачи.

Заменяют sin²x + cos²x = 1 формулой sin x + cos x = 1. В основном тождестве складываются именно квадраты функций. Чтобы проверить себя, внимательно сравните показатели степеней перед каждым слагаемым.

Связь с другими темами

Для изучения зависимостей нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, единичная окружность и знаки функций по четвертям. Эти формулы применяются при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве тождеств. Позже они помогут решать тригонометрические уравнения и неравенства, а также задачи на преобразование формул.

Что запомнить

• sin²x + cos²x = 1.
• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0.
• 1 + tg²x = 1 / cos²x.
• 1 + ctg²x = 1 / sin²x.
• tg x · ctg x = 1, если обе функции определены.
• При извлечении квадратного корня знак определяется четвертью аргумента.