20. Свойства и графики функций у = tg x и y = ctgx

Определения и обозначения

Функция тангенс задаётся формулой y = tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Иными словами, тангенс показывает отношение синуса угла к его косинусу. Это определение сразу помогает находить область допустимых значений x и нули функции.

Функция котангенс задаётся формулой y = ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0. Она является отношением косинуса к синусу, то есть обратна тангенсу там, где оба выражения имеют смысл. Формула нужна для исследования области определения, знаков и нулей котангенса.

Период функции — это ненулевое число T, для которого f(x + T) = f(x) для всех x из области определения. Если существует наименьший положительный период, то именно он описывает длину повторяющегося фрагмента графика. Для тангенса и котангенса таким числом служит π.

Вертикальная асимптота — прямая x = a, к которой график приближается, когда x приближается к a. Вблизи такой прямой значения функции становятся сколь угодно большими по модулю. Поэтому асимптоты помогают правильно разделить график на отдельные ветви.

Как это устроено

Области определения функций различаются из-за разных знаменателей. Для тангенса нельзя брать такие x, при которых cos x = 0, а это x = π/2 + πk. Для котангенса исключаются нули синуса: x = πk, поскольку деление на нуль не имеет смысла.

Период обеих функций равен π, потому что при прибавлении π синус и косинус одновременно меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. В дроби два минуса сокращаются. Значит, отношение сохраняется, а повторение уже через π показывает, что период 2π не является наименьшим.

Вертикальные асимптоты возникают около нулей знаменателя. Например, возле точки x = π/2 косинус близок к нулю, тогда как синус остаётся близким к 1, поэтому tg x по модулю неограниченно увеличивается. Аналогично ведёт себя котангенс около точек x = πk, где исчезает синус.

Знак тангенса определяется знаками sin x и cos x: одинаковые знаки дают положительное отношение, разные — отрицательное. Поэтому tg x положителен в I и III четвертях и отрицателен во II и IV. Для котангенса правило такое же, хотя числитель и знаменатель поменялись местами.

На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс непрерывно возрастает от −∞ до +∞, а котангенс непрерывно убывает от +∞ до −∞. Для построения ветви достаточно отметить несколько характерных точек, например нули и значения ±1, а затем соединить их плавной кривой. Через асимптоту график не проводят, потому что эта точка не принадлежит области определения.

Свойства функций y = tg x и y = ctg x

Таблица позволяет быстро сравнить функции и найти нужное свойство перед решением задачи. Буква k во всех формулах обозначает любое целое число. При построении графика сначала отмечайте исключённые точки и асимптоты, а затем используйте нули и направление монотонности.

Разбор задач

Задача 1. Свойства функции y = tg x

Укажем область определения, множество значений, период и промежутки возрастания функции y = tg x. Все свойства удобно вывести из формулы tg x = sin x / cos x и поведения графика на одной основной ветви. Затем повторим результат с периодом π.

1. Знаменатель cos x не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
2. На каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) тангенс принимает все действительные значения от −∞ до +∞. Следовательно, множество значений — R.
3. Из равенств sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x получаем tg(x + π) = tg x. Наименьший положительный период равен π.
4. На каждом промежутке непрерывности график идёт снизу вверх, поэтому функция возрастает на (−π/2 + πk; π/2 + πk).

Ответ: D(tg) = {x ∈ R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z}; E(tg) = R; T = π. Функция возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk).

Задача 2. Уравнение tg x = √3

Решим уравнение на отрезке [−π; π]. Сначала найдём угол, тангенс которого равен √3, а затем учтём периодичность тангенса. После этого оставим только корни, попадающие в заданный отрезок.

1. Из таблицы значений известно: tg(π/3) = √3.
2. Общий вид решений имеет форму x = π/3 + πk, k ∈ Z, потому что период тангенса равен π.
3. Проверим целые k на отрезке [−π; π]: при k = −1 получаем x = −2π/3, при k = 0 — x = π/3, при k = 1 — x = 4π/3, что уже больше π.

Ответ: x = −2π/3 или x = π/3.

Задача 3. График и неравенство ctg x ≥ 1

Построим график y = ctg x на отрезке [−π; π] и решим неравенство. На концах и в середине отрезка находятся асимптоты x = −π, 0 и π, поэтому рассматриваем три отдельные ветви. Котангенс убывает на каждой из них.

1. Отметим асимптоты x = −π, x = 0 и x = π, а также точки, где ctg x = 0: x = −π/2 и x = π/2.
2. На промежутке (−π; 0) функция убывает от +∞ до −∞. Значение 1 достигается при x = −3π/4, поэтому нужная часть ветви: x ∈ (−π; −3π/4].
3. На промежутке (0; π) функция также убывает от +∞ до −∞. Равенство ctg x = 1 выполняется при x = π/4, поэтому получаем x ∈ (0; π/4].
4. Точки −π, 0 и π не включаются, поскольку это асимптоты и функция там не определена.

Ответ: x ∈ (−π; −3π/4] ∪ (0; π/4].

Типичные ошибки

Ошибка: считать периодом тангенса или котангенса число 2π. Так происходит из-за переноса периода синуса и косинуса на их отношение. Проверьте равенство f(x + π) = f(x): оно показывает, что наименьший положительный период равен π.

Ошибка: включать в область определения точки x = π/2 + πk для тангенса или x = πk для котангенса. В этих точках знаменатель дроби равен нулю, поэтому значение функции не существует. Для проверки выпишите формулу функции и отдельно найдите нули знаменателя.

Ошибка: менять направления монотонности местами. Тангенс возрастает на каждой своей ветви, а котангенс убывает. Проверить себя можно по движению графика слева направо между двумя соседними асимптотами.

Ошибка: рисовать один непрерывный график через асимптоту. В исключённой точке функция не определена, поэтому ветви не соединяются. Сначала проведите асимптоты, а затем стройте каждую ветвь отдельно.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса и котангенса нужны единичная окружность, табличные значения и знаки синуса и косинуса. Также пригодятся умения находить нули знаменателя, работать с периодическими функциями и считывать координаты с графика. Эти функции используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а позднее — при изучении производных и исследовании функций.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, а ctg x = cos x / sin x.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Область определения tg x: x ≠ π/2 + πk.
• Область определения ctg x: x ≠ πk.
• Тангенс возрастает на каждом промежутке непрерывности.
• Котангенс убывает на каждом промежутке непрерывности.
• Графики имеют вертикальные асимптоты в точках, исключённых из области определения.