19. Свойства и график функции у = cos х

Определения и обозначения

Функция y = cos x — тригонометрическая функция, которая каждому действительному числу x ставит в соответствие косинус этого числа. Здесь x обычно рассматривают как угол, измеренный в радианах, а y — полученное значение косинуса. Это обозначение позволяет исследовать зависимость значения косинуса от угла и изображать её графически.

Область определения функции — множество всех значений x, для которых функция имеет смысл. Для y = cos x это вся числовая прямая, то есть x ∈ R. Такое свойство нужно учитывать при построении графика и решении уравнений: нельзя ограничиваться только одним периодом.

Множество значений функции — все значения y, которые принимает функция. Для косинуса это отрезок [−1; 1], поэтому записывают −1 ≤ cos x ≤ 1. По этому промежутку можно сразу проверять, возможен ли предложенный ответ или значение параметра.

Период функции — положительное число T, при прибавлении которого значение функции не изменяется: cos(x + T) = cos x. Наименьший положительный период косинуса равен 2π. Период помогает переносить известные точки и свойства на всю числовую прямую.

Как это устроено

Косинус определён для любого действительного x, потому что каждому углу соответствует точка на единичной окружности. Единичная окружность позволяет выполнить поворот на любой угол, в том числе отрицательный или очень большой. Поэтому для каждого x существует соответствующая точка, а значение cos x можно определить.

Косинусом угла называют абсциссу точки единичной окружности, полученной поворотом начальной точки на этот угол. Абсцисса — это горизонтальная координата точки, а координаты точек окружности не выходят за пределы от −1 до 1. Отсюда следует неравенство −1 ≤ cos x ≤ 1 и множество значений [−1; 1].

При увеличении угла на 2π точка на единичной окружности делает полный оборот и возвращается туда, откуда начала движение. Её абсцисса после этого совпадает с прежней, поэтому cos(x + 2π) = cos x. Меньшего положительного периода нет: за неполный полный оборот точка не возвращается в исходное положение для всех x.

Косинус противоположных углов имеет одно и то же значение: cos(−x) = cos x. На окружности это объясняется симметрией точек относительно горизонтальной оси: у симметричных точек одинаковые абсциссы. Поэтому функция y = cos x является чётной, а её график симметричен относительно оси Oy.

Для построения графика достаточно начать с основных углов одного периода. Значения в точках 0, π/2, π, 3π/2 и 2π равны соответственно 1, 0, −1, 0 и 1. Эти точки соединяют плавной кривой, затем повторяют получившуюся волну через 2π; по ней видны нули, максимумы, минимумы и промежутки монотонности.

На отрезке [0; π] косинус убывает от 1 до −1, а на [π; 2π] возрастает от −1 до 1. После переноса на 2π эти свойства повторяются. Нули находятся в серединах участков между максимумом и минимумом, то есть при x = π/2 + πk.

Основные свойства функции y = cos x

В таблице собраны свойства, которые нужно использовать при чтении и построении графика косинуса. Формулы показывают, где находятся особые точки и интервалы, а последний столбец связывает их с видом кривой. Параметр k во всех общих формулах принимает любые целые значения.

Разбор задач

Задача 1. Заполнить таблицу значений функции y = cos x для x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π и по этим точкам построить один период графика. Нужно использовать координаты точек единичной окружности и расположить их на координатной плоскости. После этого точки соединяют не отрезками, а плавной кривой.

1. Вычислим значения: cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, cos π = −1, cos(3π/2) = 0, cos 2π = 1.
2. Запишем точки: (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1).
3. Нанесём их на координатную плоскость и проведём плавную волну: сначала вниз от 1 до −1, затем вверх до 1.
4. Чтобы получить весь график, повторим этот фрагмент с шагом 2π в обе стороны.

Ответ: таблица значений содержит числа 1, 0, −1, 0, 1; один период графика проходит через перечисленные пять точек.

Задача 2. Решить уравнение cos x = ½ и изобразить решения на графике. Сначала ищем основные углы одного периода, затем учитываем симметрию и повторяем ответы с периодом 2π. Прямая y = ½ пересекает волну дважды за каждый период.

1. На единичной окружности косинус равен ½ при углах π/3 и 5π/3, или −π/3.
2. Запишем эти положения одной формулой: x = 2πk ± π/3, где k ∈ Z.
3. На графике проведём прямую y = ½ и отметим все её точки пересечения с графиком косинуса.

Ответ: x = 2πk ± π/3, k ∈ Z.

Задача 3. Решить неравенство cos x ≥ ½ на промежутке [−2π; 2π]. Сначала найдём общий участок решения по одному периоду, а затем выберем только те его части, которые попадают в заданный отрезок. Границы входят в ответ, потому что знак неравенства нестрогий.

1. Из предыдущей задачи уровни cos x = ½ достигаются при x = 2πk ± π/3.
2. Между этими точками около каждого максимума косинус не ниже ½: x ∈ [−π/3 + 2πk; π/3 + 2πk].
3. При k = −1, 0 и 1 пересекаем эти промежутки с [−2π; 2π]. Получаем три части: [−2π; −5π/3], [−π/3; π/3], [5π/3; 2π].

Ответ: x ∈ [−2π; −5π/3] ∪ [−π/3; π/3] ∪ [5π/3; 2π].

Типичные ошибки

Первая ошибка — указывать область определения только на одном периоде, например [0; 2π]. Так происходит, когда промежуток построения путают с областью определения функции. Проверка проста: косинус существует для любого действительного угла, значит, область определения — R.

Вторая ошибка — считать множеством значений отрезок [0; 1]. Косинус путают с величиной, которая не может быть отрицательной, хотя абсцисса точки окружности бывает и отрицательной. Проверьте значения при x = π и x = 0: они равны соответственно −1 и 1.

Третья ошибка — называть периодом π. Прибавление π меняет точку окружности на противоположную, поэтому cos(x + π) = −cos x, а не cos x. Для проверки подставьте x = 0: cos π = −1, тогда как cos 0 = 1.

Четвёртая ошибка — строить график отрезками или пропускать ключевые точки. При таком рисунке теряются плавность, максимумы, минимумы и нули волны. Проверьте себя по точкам (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1) и повторению через 2π.

Связь с другими темами

Для изучения косинуса нужны единичная окружность, радианная мера угла и значения синуса и косинуса основных углов. Также используются понятия функции, области определения, множества значений, чётности и периодичности. Свойства графика помогают решать тригонометрические уравнения и неравенства, а позднее понадобятся при изучении производной функции косинуса.

Что запомнить

• Область определения функции y = cos x — вся числовая прямая.
• Множество значений функции y = cos x — отрезок [−1; 1].
• Функция y = cos x является чётной.
• Наименьший положительный период косинуса равен 2π.
• Нули функции имеют вид x = π/2 + πk, где k — целое число.
• Наибольшее значение косинуса равно 1, а наименьшее — −1.
• График косинуса повторяется через каждые 2π и проходит через точку (0; 1).