18. Свойства и график функции у = sin x

Определения и обозначения

Синус числа sin x — это ордината, то есть вторая координата, точки единичной окружности, соответствующей углу x. Угол откладывают от положительного направления оси Ox, а движение против часовой стрелки считают положительным. Такое определение связывает тригонометрическое значение с координатами точки и помогает находить основные значения.

Функция y = sin x каждому действительному числу x ставит в соответствие единственное значение синуса. Поэтому x — аргумент, а sin x — значение функции. Это позволяет исследовать синус обычными способами: находить область определения, нули, промежутки знакопостоянства и строить график.

Период функции — это число T, для которого f(x + T) = f(x) при всех x. Если T положительно и является наименьшим среди таких чисел, его называют наименьшим положительным периодом. Период показывает, через какой шаг значения функции начинают повторяться.

График функции — множество всех точек с координатами (x; sin x) на координатной плоскости. Каждому x соответствует одна точка, поэтому график не имеет вертикальных разрывов. По его форме можно увидеть максимумы, минимумы, нули и повторяемость синусоиды.

Как это устроено

Синус определён при любом действительном x, потому что любой такой угол можно отложить на единичной окружности, делая сколько угодно полных оборотов. У точки окружности всегда есть ордината, значит значение sin x существует для каждого x. При этом ордината точки окружности радиуса 1 лежит от −1 до 1, поэтому множество значений функции — отрезок [−1; 1].

Ключевые точки графика получают из координат единичной окружности. При x = 0, π, 2π и вообще x = πn точка лежит на оси Ox, поэтому синус равен нулю. В точке x = π/2 ордината равна 1, а при x = −π/2 — −1; эти точки дают максимум и минимум. Между ними график проходит плавно, потому что при непрерывном изменении угла непрерывно меняется и положение точки на окружности.

Синус нечётный: sin(−x) = −sin x. При смене знака угла точка окружности отражается относительно оси Ox, поэтому её ордината меняет знак. На графике каждой точке (x; sin x) соответствует точка (−x; −sin x), значит график симметричен относительно начала координат, а не относительно оси Oy.

После поворота на 2π точка единичной окружности возвращается в исходное положение. Поэтому sin(x + 2π) = sin x для любого x, и 2π является периодом. Поворота на π недостаточно: он переводит точку в противоположную, так что sin(x + π) = −sin x. Построив синус на одном отрезке длины 2π, например на [−π; π] или [0; 2π], можно повторять этот фрагмент вправо и влево.

Знаки синуса определяются знаком ординаты точки окружности. В первой и второй четвертях ордината положительна, а в третьей и четвёртой отрицательна; поэтому sin x > 0 на (2πn; π + 2πn), а sin x < 0 на (π + 2πn; 2π + 2πn). По направлению графика видно, что синус возрастает от −1 до 1 на [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает от 1 до −1 на [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

Основные свойства функции y = sin x

В таблице n всегда обозначает любое целое число. Для исследования конкретного промежутка сначала находят на нём нули и точки экстремума, а затем сравнивают положение графика с осью Ox. Формулы периодичности позволяют не повторять исследование для каждого нового периода.

Разбор задач

Задача 1. Основные характеристики

По графику или свойствам функции y = sin x определить область определения, множество значений, период и нули функции. Нужно последовательно применить определения, связанные с единичной окружностью и повторяемостью значений. Ответ запишем в точной форме.

1. Любой x ∈ R задаёт угол, поэтому область определения: D(y) = R.
2. Ордината точки единичной окружности находится в пределах от −1 до 1, значит E(y) = [−1; 1].
3. После поворота на 2π точка окружности возвращается, поэтому наименьший положительный период равен 2π.
4. Синус равен нулю, когда точка находится на оси Ox: x = πn, n ∈ Z.

Ответ: D(y) = R; E(y) = [−1; 1]; T = 2π; нули x = πn, n ∈ Z.

Задача 2. Решение неравенства

Решить неравенство sin x > 0 и указать ответ на числовой прямой. Сначала определим положительные участки одного периода, затем распространим их с помощью периода 2π. Концы промежутков включать нельзя, поскольку в них синус равен нулю.

1. На промежутке [0; 2π] синус положителен между нулями 0 и π, то есть при x ∈ (0; π).
2. Так как период равен 2π, переносим этот интервал на любое число периодов: (2πn; π + 2πn).
3. На числовой прямой отмечаем интервалы открытыми точками в концах и заштриховываем их для всех n ∈ Z.

Ответ: x ∈ (2πn; π + 2πn), n ∈ Z.

Задача 3. График и число решений

Построить график y = sin x на [−2π; 2π] и найти число решений уравнения sin x = 1/2 на этом промежутке. Для построения достаточно отметить нули, максимумы и минимумы, а затем соединить ключевые точки плавной волной. Число решений удобно находить пересечением графика с горизонтальной прямой y = 1/2.

1. Отмечаем точки −2π, −π, 0, π, 2π с ординатой 0; точки −3π/2 и π/2 с ординатой 1; точки −π/2 и 3π/2 с ординатой −1.
2. Соединяем их плавной линией и получаем два полных периода на заданном отрезке.
3. Прямая y = 1/2 пересекает положительные полуволны. На [−2π; 2π] таких пересечений четыре: по два в интервалах (−2π; −π), (0; π) и ещё? Проверим по значениям: положительные полуволны здесь (−2π; −π) и (0; π), поэтому в каждой по два пересечения.

Ответ: график строится по указанным ключевым точкам; уравнение sin x = 1/2 имеет 4 решения на [−2π; 2π].

Типичные ошибки

Иногда область определения записывают как [−1; 1], путая допустимые x со значениями функции. Ошибка возникает из-за того, что именно этот отрезок ограничивает синус. Проверка проста: область определения отвечает на вопрос, какие x можно подставлять, а множество значений — какие y получаются.

Периодом иногда считают π, потому что через π график оказывается на противоположной высоте. Но sin(x + π) = −sin x, поэтому значения не повторяются полностью. Подставьте любое удобное x и сравните sin(x + T) с sin x.

График синуса могут сделать симметричным относительно оси Oy, как у чётной функции. На самом деле sin(−x) = −sin x, значит функция нечётная. Для проверки достаточно сравнить точки (π/2; 1) и (−π/2; −1): они симметричны относительно начала координат.

Знаки синуса во второй и четвёртой четвертях иногда путают со знаками косинуса. Ордината точки положительна в первой и второй четвертях, а отрицательна в третьей и четвёртой. Проверяйте знак по положению графика: выше оси Ox — плюс, ниже — минус.

Связь с другими темами

До изучения синуса нужны единичная окружность, радианная мера угла, координаты точки на окружности и основные значения тригонометрических функций. Эти знания объясняют происхождение ключевых точек графика.

Свойства синуса используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Периодичность и симметрия особенно важны при преобразованиях графиков и выборе общего решения.

Эта тема служит основой для изучения косинуса, тангенса и производной синуса. Те же идеи применяются при описании периодических процессов, например колебаний.

Что запомнить

• Область определения функции y = sin x — все действительные числа.
• Множество значений синуса — отрезок [−1; 1].
• Функция y = sin x нечётная.
• Наименьший положительный период синуса равен 2π.
• Нули функции: x = πn, где n — целое число.
• Максимальное значение 1 достигается при x = π/2 + 2πn, минимальное значение −1 — при x = −π/2 + 2πn.
• График синуса строится повторением одного периода.