27. Понятие о вероятности

Определения и обозначения

Случайный эксперимент — действие, результат которого заранее неизвестен, но множество возможных результатов можно описать. Например, при броске кости неизвестно, сколько очков выпадет, однако варианты от 1 до 6 известны. Это понятие задаёт ситуацию, в которой имеет смысл оценивать вероятность.

Элементарный исход — отдельный возможный результат случайного эксперимента. При одном броске кости элементарными исходами будут выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Их перечисление нужно, чтобы не потерять варианты при подсчёте.

Событие — совокупность элементарных исходов, при которых выполняется некоторое условие. Событие «выпало чётное число» при броске кости включает исходы 2, 4 и 6. Такое описание связывает условие задачи с конкретными результатами.

Вероятность события — числовая мера возможности его наступления. При равновозможных исходах её находят как отношение числа благоприятных исходов к общему числу: P(A) = m/n. Вероятность позволяет сравнивать события и делать вывод о том, насколько часто они могут происходить.

Как это устроено

Случайный эксперимент задаёт множество всех возможных элементарных исходов. Его нужно перечислить полностью, потому что знаменатель формулы показывает общее число вариантов, а числитель выбирается из этого множества. Если забыть хотя бы один исход или добавить невозможный, отношение m/n уже не описывает реальную ситуацию.

При равновозможных исходах каждый вариант имеет одинаковую долю общего числа случаев. Если всего исходов n, то на событие из m исходов приходится m таких долей, поэтому P(A) = m/n. Равенство шансов позволяет считать варианты, а не учитывать для каждого из них отдельную вероятность.

Событие происходит тогда и только тогда, когда наступает один из входящих в него элементарных исходов. Поэтому сначала переводят условие задачи в список подходящих результатов, а затем называют их благоприятными. Например, для события «сумма равна 8» при броске двух костей подходят только пары, сумма чисел в которых равна 8.

Невозможное событие не содержит ни одного благоприятного исхода, поэтому его вероятность равна 0/n = 0. Достоверное событие включает все исходы, значит, его вероятность равна n/n = 1. Любое другое событие содержит от 0 до n исходов, поэтому 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Противоположное событие «не A» происходит во всех случаях, когда A не происходит. События A и «не A» вместе охватывают все исходы и не пересекаются, поэтому их вероятности в сумме дают 1. Отсюда P(не A) = 1 − P(A); формула особенно удобна, когда неудачные случаи посчитать проще благоприятных.

Основные понятия и свойства вероятности

Таблицу удобно использовать как последовательность действий: сначала определить эксперимент и его исходы, затем выделить событие и благоприятные варианты. После этого проверяют, равновозможны ли исходы, и применяют формулу. Последние строки помогают быстро оценить границы ответа и заменить сложный подсчёт подсчётом противоположного события.

Разбор задач

Задача 1

Условие: игральную кость бросают один раз. Найти вероятность того, что выпадет чётное число очков.

1. У одного броска шесть равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
2. Чётными являются 2, 4 и 6, поэтому благоприятных исходов m = 3, а всего n = 6.
3. Подставляем числа в формулу: P(A) = 3/6 = 1/2.

Ответ: 1/2.

Задача 2

Условие: две игральные кости бросают одновременно. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 8.

1. Исход записываем упорядоченной парой: первое число относится к первой кости, второе — ко второй. Всего получается 6 · 6 = 36 равновозможных пар.
2. Сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Значит, благоприятных исходов 5.
3. Вероятность равна P(A) = 5/36.

Ответ: 5/36.

Задача 3

Условие: в коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Наугад последовательно вынимают два шара без возвращения. Найти вероятность того, что оба шара окажутся одного цвета.

1. Разобьём благоприятный случай на два несовместимых варианта: оба шара белые или оба чёрные.
2. Вероятность вынуть два белых шара равна 5/8 · 4/7 = 5/14, а вероятность вынуть два чёрных — 3/8 · 2/7 = 3/28.
3. Складываем вероятности вариантов: 5/14 + 3/28 = 10/28 + 3/28 = 13/28.

Ответ: 13/28.

Типичные ошибки

Неравновозможные исходы считают равными. Классическая формула P(A) = m/n работает только тогда, когда у всех элементарных исходов одинаковые шансы. Проверяйте не только количество вариантов, но и условия их появления.

Результаты двух бросков записывают неупорядоченными. Пары (2; 6) и (6; 2) дают одну сумму, но соответствуют разным исходам: числа выпали на разных костях. Записывайте, какая координата относится к первой кости, а какая — ко второй.

Число благоприятных исходов принимают за вероятность. Значение m показывает только числитель, а вероятность равна отношению m к общему числу n. После подсчёта обязательно запишите дробь m/n и сократите её при необходимости.

Не проверяют границы ответа. Вероятность не может быть отрицательной или больше 1. Если получилось такое значение, пересчитайте исходы, знаменатель и арифметические действия.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны действия с дробями, проценты, перебор вариантов и базовые правила комбинаторного подсчёта. Описание событий опирается на понятия множества: объединение, пересечение и дополнение помогают работать с группами исходов. Позже вероятность используется при изучении статистики, случайных величин и распределений, а также в практических задачах с неопределёнными результатами.

Что запомнить

• Вероятность характеризует возможность наступления события.
• Элементарный исход — один отдельный результат эксперимента.
• Событие состоит из элементарных исходов.
• При равновозможных исходах P(A) = m/n.
• Всегда выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1.
• P(не A) = 1 − P(A).