Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций

Определения и обозначения

Функция называется чётной, если для каждого x из её области определения число −x тоже принадлежит области определения и f(−x) = f(x). Симметрия области определения означает, что допустимые значения x располагаются парами, противоположными относительно нуля. Это условие позволяет сравнивать значения функции в точках x и −x; на графике такая симметрия соответствует отражению относительно оси Oy.

Функция называется нечётной, если вместе с каждым допустимым x допустимо и −x, причём f(−x) = −f(x). Иными словами, значения в противоположных точках равны по модулю, но имеют разные знаки. Такая проверка нужна, чтобы установить симметрию графика относительно начала координат, а не делать вывод по отдельным точкам.

Число T ≠ 0 называют периодом функции, если f(x + T) = f(x) для всех x, для которых обе части равенства определены. Если существует наименьший положительный период, его называют основным периодом. Период показывает, через какой шаг значения функции начинают повторяться; это помогает описывать график и не вычислять значения заново на каждом промежутке.

Основной период тригонометрической функции — её наименьший положительный период, если он существует. Например, для sin x таким числом служит 2π, а для tg x — π. Указание именно на наименьший период важно: любое положительное число, кратное основному периоду, тоже может быть периодом, но основным оно от этого не становится.

Как это устроено

Проверку чётности или нечётности начинают с области определения, потому что в формулах участвуют сразу x и −x. Если, например, функция определена только при x > 0, то для её допустимого положительного x значение в точке −x не существует. Значит, сравнить f(x) с f(−x) нельзя для всех допустимых x, и функция не может быть ни чётной, ни нечётной по данным определениям.

На единичной окружности косинус угла — горизонтальная координата точки, а синус — вертикальная. Углам x и −x соответствуют точки, зеркально отражённые относительно горизонтальной оси: горизонтальные координаты у них совпадают, а вертикальные противоположны. Поэтому cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x; отсюда косинус чётный, синус нечётный.

Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg x = sin x/cos x. При замене x на −x числитель меняет знак, а знаменатель остаётся прежним, поэтому tg(−x) = −tg x. Аналогично ctg x = cos x/sin x: числитель сохраняет знак, знаменатель меняет, и получается ctg(−x) = −ctg x. Области определения обеих функций симметричны относительно нуля, так что проверка нечётности применима.

При обходе единичной окружности на полный оборот, то есть на 2π, точка возвращается в исходное положение. Поэтому её координаты повторяются: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Меньший положительный шаг не возвращает каждую точку окружности в исходное положение, поэтому основными периодами синуса и косинуса являются 2π.

Для тангенса и котангенса достаточно поворота на пол-оборота, то есть на π. При этом синус и косинус одновременно меняют знак, а их отношения сохраняются: (−sin x)/(−cos x) = sin x/cos x; то же рассуждение работает для котангенса. Поэтому значения tg x и ctg x повторяются через π, а не только через 2π.

Чётность, область значений и основные периоды тригонометрических функций

Сначала по строке «Область определения» проверьте, при каких x функция существует, а затем найдите её значения и тип симметрии. Строка с периодом позволяет понять, через какой интервал повторяется график. R обозначает множество всех действительных чисел, а k — любое целое число.

Разбор задач

1. Чётность функции f(x) = cos x

Нужно проверить определение, а не ориентироваться только на вид формулы. У косинуса область определения — все действительные числа, поэтому вместе с x функция определена и в точке −x. Используем свойство косинуса cos(−x) = cos x и сравним полученное выражение с f(x) и −f(x).

1. Запишем значение функции с противоположным аргументом: f(−x) = cos(−x).
2. Применим формулу косинуса: cos(−x) = cos x = f(x).
3. Значит, выполнено условие чётности. Функция не является нечётной: например, при x = 0 получаем f(0) = 1, а нечётная функция должна иметь f(0) = 0.

Ответ: функция f(x) = cos x чётная.

2. Основной период функции f(x) = sin 3x

Синус повторяет значения при изменении аргумента на 2π. Здесь аргументом синуса является не x, а 3x, поэтому при сдвиге x на период T внутренний аргумент должен увеличиться на 2π. Найдём такой сдвиг и убедимся, что он наименьший положительный.

1. Требуем, чтобы 3(x + T) = 3x + 2π.
2. После сокращения 3x получаем 3T = 2π, откуда T = 2π/3.
3. Поскольку 2π — наименьший положительный период синуса, меньший положительный сдвиг T не обеспечит повторения значений sin 3x.

Ответ: основной период равен 2π/3.

3. Основной период функции f(x) = tg(2x) + cos x

Сумма повторяется с шагом, который является периодом каждого слагаемого. Для tg(2x) повторение наступает, когда аргумент 2x увеличивается на π; для cos x нужен сдвиг на 2π. Поэтому ищем наименьшее положительное число, подходящее обоим слагаемым, а не складываем их периоды.

1. Для тангенса требуем 2T = π, откуда основной период tg(2x) равен π/2.
2. Для косинуса основной период равен 2π. Общими периодами двух слагаемых являются числа, кратные и π/2, и 2π.
3. Наименьшее положительное общее значение — 2π. Проверка: tg(2(x + 2π)) = tg(2x + 4π) = tg(2x), а cos(x + 2π) = cos x.

Ответ: основной период суммы равен 2π.

Типичные ошибки

Называть функцию чётной или нечётной, не проверив область определения, — значит пропустить обязательную часть проверки. Такое случается, когда сразу подставляют −x в формулу и не замечают, что результат может быть не определён. Сначала проверьте: для каждого допустимого x допустимо ли −x; затем сравнивайте значения. Если симметрии нет, определения чётности и нечётности не выполнены.

Проход графика через начало координат не доказывает нечётность. Ученик может принять один верный признак за полное определение, хотя нечётная функция должна удовлетворять равенству f(−x) = −f(x) для всех допустимых x. Проверьте несколько пар противоположных аргументов либо используйте формулу. Например, наличие f(0) = 0 необходимо для нечётной функции, но само по себе недостаточно.

Период тангенса иногда ошибочно принимают равным 2π по аналогии с синусом и косинусом. Но тангенс — отношение синуса к косинусу, и при сдвиге на π оба меняют знак, так что отношение уже повторяется. Проверка простая: подставьте x + π и получите tg(x + π) = tg x. Следовательно, наименьший положительный период тангенса — π.

Ещё одна ошибка — назвать основным периодом любое подходящее положительное число. Если период равен P, то его положительные кратные тоже являются периодами, но не обязательно основными. Например, у синуса 4π — период, однако основной период равен 2π. Для самопроверки выясните, существует ли меньший положительный сдвиг, при котором равенство повторения сохраняется.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в чётности и периодичности, нужно понимать область определения и множество значений функции, а также различать аргумент и значение функции. Единичная окружность объясняет, почему координаты точки связаны с синусом и косинусом. Формулы tg x = sin x/cos x и ctg x = cos x/sin x позволяют выводить свойства тангенса и котангенса из свойств синуса и косинуса. Эти знания пригодятся при исследовании функций, преобразовании графиков и решении тригонометрических уравнений.

Что запомнить

• Для чётной функции f(−x) = f(x).
• Для нечётной функции f(−x) = −f(x).
• Область определения чётной или нечётной функции симметрична относительно нуля.
• Синус — нечётная функция, косинус — чётная.
• Тангенс и котангенс — нечётные функции.
• Основные периоды синуса и косинуса равны 2π.
• Основные периоды тангенса и котангенса равны π.