Свойства функции у = cos х и её график

Определения и обозначения

Функция косинус каждому действительному числу x ставит в соответствие значение cos x; её записывают как y = cos x. Аргументом функции называют входное число x, а cos x — соответствующее ему значение. Такое обозначение позволяет рассматривать косинус не только для отдельных углов, но и как зависимость, график которой можно исследовать.

Периодом функции называют число T > 0, для которого cos(x + T) = cos x при всех x. Для косинуса наименьший положительный период равен 2π. Период показывает, через какой промежуток значений аргумента график начинает повторяться, и помогает описывать его целиком по одному участку.

Функция называется чётной, если для каждого x выполняется f(−x) = f(x). У косинуса cos(−x) = cos x, поэтому y = cos x — чётная функция. Это свойство говорит, что значения при противоположных аргументах совпадают, а график симметричен относительно оси y.

Область определения — это все допустимые значения аргумента, для которых функция имеет смысл; у косинуса это ℝ, то есть все действительные числа. Множество значений — все числа, которые может принимать функция; для y = cos x оно равно [−1; 1]. Эти два понятия показывают, какие значения можно подставлять вместо x и каких результатов ожидать.

Как это устроено

Чтобы построить косинус, используют единичную окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Косинус угла равен абсциссе соответствующей точки на окружности, то есть её координате по горизонтали. При x = 0 точка имеет координаты (1; 0), а при повороте на π/2, π, 3π/2 и 2π последовательно получаются значения 0, −1, 0 и 1. Поэтому на графике отмечают точки (0; 1), (π/2; 0), (π; −1), (3π/2; 0), (2π; 1) и соединяют их плавной кривой.

Поворот на 2π — полный оборот вокруг окружности, после которого точка возвращается туда, откуда начала движение. Значит, абсцисса точки снова становится прежней и cos(x + 2π) = cos x. График повторяется через 2π, а точки с аргументами, различающимися на этот отрезок, имеют одинаковые значения. Меньший положительный период не подходит: например, сдвиг на π меняет значение косинуса на противоположное, cos(x + π) = −cos x.

При повороте на углы x и −x точки единичной окружности оказываются по разные стороны от горизонтальной оси, но имеют одинаковые абсциссы. Поэтому косинусы этих углов равны: cos(−x) = cos x. Если точка графика имеет координаты (x; cos x), то точка (−x; cos x) тоже лежит на графике. Так возникает зеркальная симметрия относительно оси y.

Косинус — абсцисса точки единичной окружности, а абсцисса на этой окружности не может быть меньше −1 или больше 1. Значит, все значения функции находятся в пределах [−1; 1]. Обе границы достигаются: правая крайняя точка окружности даёт 1, левая — −1. Поэтому на графике есть горизонтальные уровни максимума и минимума, а промежуточные значения косинус принимает между ними.

На одном периоде характерные точки показывают, где график пересекает ось x и где достигает верха или низа. Нули повторяются через π и записываются как x = π/2 + πk, где k ∈ ℤ; максимумы и минимумы повторяются через 2π. Между максимумом и следующим минимумом график убывает, а между минимумом и следующим максимумом возрастает. Перенос этих участков на другие периоды даёт все промежутки монотонности, то есть возрастания и убывания функции.

Основные свойства функции y = cos x

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какое свойство требуется найти: например, нули или промежутки возрастания. Затем подставьте целые значения k и оставьте только те аргументы, которые подходят условию задачи. Если задан отрезок, проверяйте, что найденные точки или промежутки целиком либо частично входят в него.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график y = cos x на отрезке [0; 2π], отметив характерные точки. Нужно найти значения функции в нескольких удобных точках, а затем правильно соединить их. Эти точки соответствуют четвертям полного оборота на единичной окружности.

1. При x = 0 получаем cos 0 = 1, поэтому отмечаем точку (0; 1). При x = π/2 косинус равен 0, при x = π равен −1. Это задаёт первую половину кривой.
2. При x = 3π/2 значение снова равно 0, а при x = 2π оно равно 1. Отмечаем точки (3π/2; 0) и (2π; 1). Так кривая возвращается к начальной высоте.
3. Соединяем все пять точек плавной волнообразной линией. На промежутке от 0 до π график опускается, а от π до 2π поднимается. Ответ: график проходит через указанные точки.

Задача 2. Найдите нули и точки максимума функции y = cos x на отрезке [−2π; 2π]. Общая формула нулей — x = π/2 + πk, а абсциссы максимумов имеют вид x = 2πk. Отбираем из этих последовательностей только числа внутри заданного отрезка.

1. Для нулей решаем двойное неравенство −2π ≤ π/2 + πk ≤ 2π. После деления на π и вычитания 1/2 получаем −5/2 ≤ k ≤ 3/2, поэтому k = −2, −1, 0, 1.
2. Подставляем эти значения в формулу. Нули: −3π/2, −π/2, π/2 и 3π/2. Все они принадлежат отрезку [−2π; 2π].
3. Для максимумов используем x = 2πk. Условию отрезка подходят k = −1, 0, 1, то есть x = −2π, 0, 2π. Ответ: нули указаны выше, точки максимума графика — (−2π; 1), (0; 1), (2π; 1).

Задача 3. Решите неравенство cos x ≥ 1/2 на отрезке [−2π; 2π]. На единичной окружности косинус — горизонтальная координата, поэтому условию отвечают точки с абсциссой не меньше 1/2. Сначала находим участки на одном периоде, затем переносим их с учётом периода 2π.

1. На промежутке [0; 2π] косинус равен 1/2 при x = π/3 и x = 5π/3. Между этими точками, проходя через π, он меньше 1/2, а около 0 и 2π — не меньше. Значит, на одном периоде подходят [0; π/3] и [5π/3; 2π].
2. С учётом повторения через 2π можно записать все решения как x ∈ [−π/3 + 2πk; π/3 + 2πk], где k ∈ ℤ. Теперь отбираем части этих промежутков, лежащие в заданном отрезке. При k = −1 получаем [−2π; −5π/3], при k = 0 — [−π/3; π/3], при k = 1 — [5π/3; 2π].
3. Другие целые k дают промежутки за пределами [−2π; 2π]. Концы найденных промежутков включаются, потому что в них cos x = 1/2, а неравенство нестрогое. Ответ: [−2π; −5π/3] ∪ [−π/3; π/3] ∪ [5π/3; 2π].

Типичные ошибки

Ограничивают область определения одним периодом. За область определения принимают, например, [0; 2π], потому что на нём удобно рисовать график. Период задаёт повторение значений, но не запрещает брать другие x. Проверка: подставьте любое действительное число, например 10, и убедитесь, что cos 10 определён.

Путают период 2π с π. Причина — за один интервал длины π график успевает пройти от максимума до минимума и снова пересечь ось. Но это не повторение: cos(x + π) = −cos x. Проверка: сравните cos 0 = 1 и cos π = −1; одинаковыми значения не стали.

Записывают нули как x = πk. Это числа, при которых косинус принимает значения 1 или −1, а не ноль. Нули возникают при нечётных кратных π/2, поэтому общая формула — x = π/2 + πk, k ∈ ℤ. Проверка: подставьте найденное число в косинус или сверьтесь с точками пересечения графика с осью x.

Не учитывают повторение промежутков возрастания и убывания. Иногда свойства указывают только для одного периода и считают, что они верны лишь там. График повторяется через 2π, поэтому промежутки нужно записывать с целым k: убывание на [2πk; (2k + 1)π], возрастание на [(2k − 1)π; 2πk]. Проверка: для любого промежутка убедитесь, что его границы соответствуют максимуму и минимуму или минимуму и максимуму.

Связь с другими темами

Для понимания косинуса нужны радианная мера угла и значения синуса и косинуса на единичной окружности. Окружность объясняет, почему косинус ограничен числами −1 и 1, а также помогает находить его значения и знаки. График и свойства косинуса используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств: периодичность позволяет находить все решения, а симметрия помогает видеть их расположение. Те же идеи пригодятся при изучении сдвинутых и растянутых графиков y = cos(x + a) и y = A cos x.

Что запомнить

• Область определения cos x — ℝ.
• Множество значений cos x — [−1; 1].
• Наименьший положительный период функции равен 2π.
• Функция y = cos x чётная.
• Нули: x = π/2 + πk, где k ∈ ℤ.
• Максимум равен 1, минимум равен −1.