Свойства функции у = sin х и её график

Определения и обозначения

Функция y = sin x каждому действительному числу x ставит в соответствие значение синуса этого числа. Здесь x называют аргументом, а y — значением функции. Например, при x = π/2 получаем y = 1. Это обозначение позволяет изучать синус как зависимость и изображать её графиком.

Период функции — это такое число T > 0, при прибавлении которого к аргументу значение функции не меняется: f(x + T) = f(x) для всех x. Для синуса наименьший положительный период равен 2π. Понятие периода показывает, через какой промежуток повторяется график, и помогает не перечислять свойства заново для каждого его участка.

Функция называется нечётной, если для каждого x из её области определения выполняется равенство f(−x) = −f(x). У нечётной функции значения при противоположных аргументах отличаются только знаком, поэтому график симметричен относительно начала координат. Это свойство удобно использовать при построении графика по его части и при проверке вычислений.

Область определения — множество всех допустимых значений аргумента, а множество значений — все числа, которые может принимать функция. Для y = sin x область определения — все действительные числа, а множество значений — отрезок [−1; 1]. Эти множества отвечают на разные вопросы: какие x можно подставлять и какие y могут получиться.

Как это устроено

Синус определён при любом действительном x, потому что угол любой величины можно отложить на единичной окружности. Синус этого угла равен ординате соответствующей точки окружности. Каждая такая ордината находится между −1 и 1 включительно, поэтому значения синуса не выходят за эти границы. Крайние значения достигаются в верхней и нижней точках окружности.

При увеличении угла на полный оборот 2π точка единичной окружности возвращается в исходное положение. Поэтому ордината точки, а значит и синус, повторяется: sin(x + 2π) = sin x. Меньший положительный сдвиг не возвращает все точки окружности на прежние места, следовательно, значения не повторяются для каждого x. Так устанавливается наименьший положительный период, и график можно строить по одному повторяющемуся участку.

Если заменить угол x на противоположный −x, точка на единичной окружности отражается относительно горизонтальной оси. Её ордината меняет знак, поэтому sin(−x) = −sin x. Например, значения в точках x и −x одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Отражение точки графика относительно начала координат оставляет график синуса неизменным.

Синус равен нулю, когда точка единичной окружности лежит на горизонтальной оси, то есть при x = πk, где k — целое число. Максимум 1 достигается в верхней точке окружности, а минимум −1 — в нижней; с учётом повторения они имеют вид x = π/2 + 2πk и x = −π/2 + 2πk соответственно. Между минимумом и максимумом ордината сначала увеличивается, а на следующей половине оборота уменьшается. Поэтому синус возрастает на [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk] и убывает на [π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk].

График удобно строить, отметив несколько характерных точек одного периода: нули, максимум и минимум. Между ними кривая идёт плавно, а затем повторяет тот же рисунок через 2π. Нечётность позволяет проверить симметрию относительно начала координат, а ограниченность значений — убедиться, что график не выходит за прямые y = 1 и y = −1. Так свойства функции объясняют форму волны, а не просто перечисляют её особенности.

Основные свойства функции y = sin x

Таблица собирает свойства, которые пригодятся при чтении графика и решении задач. Буква k во всех формулах означает любое целое число, а значит, учитывает повторение свойства на каждом периоде. Для работы с конкретным промежутком отберите только те значения или характерные точки, которые в него попадают.

Разбор задач

Область определения, множество значений и период

Задача. Найти область определения, множество значений и период функции y = sin x. Здесь нужно отдельно выяснить, какие аргументы допустимы, какие результаты возможны и через какой сдвиг результаты повторяются. Используем свойства синуса, связанные с единичной окружностью.

1. Синус определён для любого действительного аргумента, поэтому ограничений на x нет. Получаем область определения ℝ.

2. Значение синуса является ординатой точки единичной окружности. Ординаты лежат от −1 до 1, включая границы, поэтому множество значений — [−1; 1].

3. Полный оборот соответствует углу 2π и возвращает точку на окружности на прежнее место. Значит, sin(x + 2π) = sin x, а наименьший положительный период равен 2π.

Ответ: область определения ℝ; множество значений [−1; 1]; период 2π.

Нули на отрезке

Задача. Найти нули функции y = sin x на отрезке [−2π; 2π]. Нуль — это аргумент, при котором значение функции равно нулю. Сначала найдём общую формулу, а затем оставим подходящие значения внутри заданного отрезка.

1. Приравниваем функцию к нулю: sin x = 0. Все решения этого уравнения задаются формулой x = πk, где k ∈ ℤ.

2. Требуем, чтобы −2π ≤ πk ≤ 2π. Делим все части неравенства на положительное число π и получаем −2 ≤ k ≤ 2.

3. Целые значения k — от −2 до 2: −2, −1, 0, 1, 2. Подставляя их в x = πk, получаем −2π, −π, 0, π, 2π.

Ответ: −2π, −π, 0, π, 2π.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения y = sin x на отрезке [π/3; 5π/6]. На отрезке непрерывной функции крайние значения могут находиться на концах или в точках максимума и минимума, попавших внутрь. Поэтому сначала проверим характерные точки, затем сравним значения.

1. Точки максимумов имеют вид π/2 + 2πk, а точки минимумов — −π/2 + 2πk. На отрезке от π/3 до 5π/6 находится π/2, но точек минимума там нет.

2. В точке π/2 значение синуса равно 1. На концах отрезка получаем sin(π/3) = √3/2 и sin(5π/6) = 1/2.

3. Сравниваем найденные значения: 1 больше обоих значений на концах, а 1/2 меньше √3/2. Следовательно, максимум достигается внутри отрезка, а минимум — на правом конце.

Ответ: наибольшее значение — 1 при x = π/2; наименьшее — 1/2 при x = 5π/6.

Типичные ошибки

Иногда период синуса принимают равным π, смешивая его свойства с периодами других тригонометрических функций. Ошибка возникает из-за того, что после сдвига на π некоторые значения меняют знак, но не повторяются сами. Проверка проста: sin(π/2) = 1, а sin(π/2 + π) = −1, поэтому π не является периодом; период равен 2π.

Другая ошибка — записывать sin(−x) = sin x. Так ведёт себя косинус, а синус является нечётной функцией и меняет знак при замене x на −x. Чтобы проверить себя, подставьте x = π/2: синусы π/2 и −π/2 равны 1 и −1. Если забыть минус, также будет неверно указана симметрия графика.

В качестве единственного нуля часто указывают x = 0. Это верное значение, но не все решения: синус обращается в ноль при каждом x = πk, где k — целое число. При решении задачи на отрезке сначала выпишите общую формулу, затем ограничьте k условием отрезка. Так не потеряются корни, расположенные вне начала координат.

Максимум и минимум можно перепутать или найти только на одном участке графика, не учитывая его периодичность. Максимум равен 1 при x = π/2 + 2πk, минимум равен −1 при x = −π/2 + 2πk. Для проверки изобразите положение точек на единичной окружности или подставьте аргументы в синус. На заданном отрезке обязательно проверяйте, какие из этих точек туда входят.

Связь с другими темами

Для работы с синусом нужно уметь измерять углы в радианах и знать его значения на единичной окружности. Эти знания объясняют, откуда берутся нули, максимумы и минимумы функции. Понимание периода и формы графика помогает строить графики функций вида y = a sin(bx + c) и решать тригонометрические уравнения. Синус также удобно сравнивать с косинусом и другими тригонометрическими функциями, чтобы увидеть общие свойства и различия.

Что запомнить

• Область определения y = sin x — ℝ.
• Множество значений синуса — [−1; 1].
• Наименьший положительный период синуса равен 2π.
• Синус — нечётная функция: sin(−x) = −sin x.
• Нули синуса: x = πk, k ∈ ℤ.
• Максимум синуса равен 1, минимум — −1.
• График синуса повторяется через каждые 2π.