Свойства функции у = tg х и её график

Определения и обозначения

Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg x = sin x / cos x. Такое отношение можно вычислить, только если cos x ≠ 0, потому что деление на ноль не определено. Это условие сразу показывает, для каких углов тангенс существует.

Функция y = tg x задаётся формулой y = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Здесь каждому допустимому значению x соответствует значение тангенса. Такое представление позволяет изучать функцию через уже знакомые синус и косинус.

Период функции — положительное число T, при прибавлении которого к аргументу значение функции не меняется: f(x + T) = f(x). Для тангенса наименьший положительный период равен π. Период помогает понять, как продолжить график после построения одной его части.

Область определения функции — множество всех значений x, для которых формула имеет смысл. Для y = tg x это все действительные числа, кроме x = π/2 + πk, где k — целое число. Именно эти исключения нужно учитывать при вычислениях и построении графика.

Как это устроено

Формула tg x = sin x / cos x объясняет, почему у функции есть недопустимые значения: знаменатель дроби не может быть равен нулю. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, поэтому в этих точках тангенс не существует. Когда x приближается к такой точке, значения функции неограниченно увеличиваются или уменьшаются, и на графике проводят вертикальную асимптоту — прямую, к которой ветвь приближается, но не пересекает её в точке определения.

Прибавление π меняет знаки синуса и косинуса на противоположные: sin(x + π) = −sin x, cos(x + π) = −cos x. В отношении два минуса сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x. Следовательно, график повторяется через π, а этот период меньше периода синуса и косинуса. Для построения достаточно изучить одну ветвь и перенести её на соседние промежутки с шагом π.

Тангенс нечётный, поскольку sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x. Поэтому tg(−x) = −tg x: при противоположных аргументах значения тоже противоположны. На графике каждой точке (x; y) соответствует точка (−x; −y), то есть получается симметрия относительно начала координат.

Тангенс равен нулю, когда числитель sin x равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это происходит при x = πk; в этих точках cos x равен 1 или −1, так что все они допустимы. Между соседними асимптотами функция непрерывно возрастает от −∞ до +∞. Поэтому её значения охватывают все действительные числа, а нули графика лежат на оси x через промежутки π.

Свойства функции y = tg x

Сначала по таблице проверяйте, допустимо ли выбранное значение x: в точках асимптот функция не определена. Затем используйте период и нули, чтобы отмечать повторяющиеся элементы графика. Промежутки возрастания показывают, в каком направлении нужно проводить каждую ветвь.

Разбор задач

Задача 1. Найдите область определения функции y = tg x.

Чтобы определить допустимые x, достаточно проверить знаменатель в формуле тангенса. Если он равен нулю, дробь не имеет смысла. Поэтому нужно найти нули косинуса и исключить их.

1. Записываем формулу: tg x = sin x / cos x.
2. Ищем значения, при которых знаменатель равен нулю: cos x = 0 при x = π/2 + πk, k ∈ Z.
3. Исключаем эти значения, а все остальные действительные числа оставляем в области определения.

Ответ: x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z. Проверка проста: подставить исключённые значения в косинус — получится ноль.

Задача 2. Упростите выражение tg(x + π) и укажите период функции y = tg x.

Выражение можно преобразовать по определению тангенса. При сдвиге на π синус и косинус меняют знаки одновременно, поэтому их отношение сохраняется. Нужно также помнить, что исходный аргумент и сдвинутый аргумент должны быть допустимыми.

1. Раскрываем тангенс как отношение: tg(x + π) = sin(x + π) / cos(x + π).
2. Используем формулы sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x.
3. Сокращаем общий знак: (−sin x) / (−cos x) = sin x / cos x = tg x.

Ответ: tg(x + π) = tg x, период функции равен π. Это наименьший положительный период тангенса.

Задача 3. Постройте график y = tg x на отрезке [−2π; 2π], отметив нули и вертикальные асимптоты.

Сначала найдём все нули и асимптоты, попадающие на заданный отрезок. Затем на каждом промежутке между асимптотами нарисуем возрастающую ветвь. Период π позволяет повторять один и тот же рисунок, не строя ветви заново с нуля.

1. Нули задаются равенством x = πk. На отрезке это точки −2π, −π, 0, π и 2π.
2. Асимптоты задаются равенством x = π/2 + πk. На отрезке это −3π/2, −π/2, π/2 и 3π/2.
3. На каждом промежутке между соседними асимптотами проводим возрастающую ветвь, проходящую через находящийся внутри него нуль.
4. Проверяем, что ветви не соединяются в точках асимптот, а рисунок повторяется при сдвиге на π.

Ответ: на заданном отрезке график имеет четыре внутренние вертикальные асимптоты и пять нулей, включая концы отрезка. У каждой ветви слева значения стремятся к −∞, а справа — к +∞.

Типичные ошибки

Иногда в область определения включают x = π/2 + πk. Обычно это происходит, если замечают периодичность, но не проверяют знаменатель дроби. Подставьте такое значение в cos x: результат равен нулю, следовательно, тангенс там не определён.

Период тангенса могут ошибочно принять равным 2π, как у синуса и косинуса. Причина в том, что эти функции часто изучают вместе, хотя отношение их значений повторяется раньше. Проверка: используйте tg(x + π) = tg x; значит, наименьший положительный период — π.

Нули функции путают с точками разрыва, потому что и те и другие расположены через промежутки π. Но нули имеют вид x = πk, а точки разрыва — x = π/2 + πk. Чтобы проверить себя, отдельно решите sin x = 0 для нулей и cos x = 0 для исключённых значений.

Ещё одна ошибка — провести график непрерывно через вертикальную асимптоту. Так рисуют, если воспринимают ветви как одну линию и забывают о недопустимых x. Проверьте каждую границу ветви: если cos x = 0, в этой точке должна быть пустота, а соседние ветви не соединяются.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса нужны определения синуса и косинуса, их значения и нули, а также умение работать с радианной мерой угла. Без этих знаний трудно найти область определения и расположить на оси точки πk. Свойства тангенса затем применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, преобразовании выражений и изучении производной функции. Понимание графика помогает видеть, сколько решений может иметь уравнение и где они находятся.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• Область определения: x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
• Основной период тангенса равен π.
• tg(−x) = −tg x.
• Нули функции: x = πk, k ∈ Z.
• На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс возрастает от −∞ до +∞.