§ 6. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Арксинус — функция y = arcsin x, обратная к синусу на отрезке [−π/2; π/2]. Поэтому arcsin x обозначает такой угол из этого отрезка, синус которого равен x. Функция нужна, когда по значению синуса требуется восстановить угол.

Арккосинус — функция y = arccos x, обратная к косинусу на отрезке [0; π]. Значение arccos x является единственным углом из этого отрезка, для которого cos y = x. Это позволяет однозначно находить угол по его косинусу.

Арктангенс — функция y = arctg x, обратная к тангенсу на интервале (−π/2; π/2). Иными словами, arctg x — угол из этого интервала, тангенс которого равен x. В отличие от синуса и косинуса, тангенс может принимать любое действительное значение.

Арккотангенс — функция y = arcctg x, обратная к котангенсу на интервале (0; π). Она возвращает единственный угол из этого интервала, для которого ctg y = x. Такой выбор промежутка фиксирует единое правило вычисления arcctg.

Как это устроено

Синус и косинус периодичны: например, sin(x + 2π) = sin x, поэтому на всей числовой прямой одному значению соответствуют многие углы. Кроме того, на разных участках они сначала растут, а затем убывают. Чтобы обратная функция каждому аргументу ставила в соответствие только одно число, выбирают отрезок, где исходная функция строго монотонна: [−π/2; π/2] для синуса и [0; π] для косинуса.

Из равенства y = sin x при x ∈ [−π/2; π/2] получают x = arcsin y, то есть arcsin y — угол, синус которого равен y. Аналогично из y = cos x при x ∈ [0; π] следует x = arccos y. Для тангенса и котангенса используют равенства y = tg x и y = ctg x на интервалах, где эти функции монотонны: x = arctg y и x = arcctg y.

При переходе к обратной функции область определения и множество значений меняются местами. Например, синус на выбранном отрезке принимает значения [−1; 1], поэтому arcsin определён именно на [−1; 1], а его значения лежат в [−π/2; π/2]. У arctg область определения всех действительных чисел, поскольку тангенс принимает любое такое значение, а значения arctg ограничены интервалом исходных углов.

График обратной функции получают отражением графика исходной функции на выбранном промежутке относительно прямой y = x. При этом каждая точка (a; b) переходит в точку (b; a). Тождества arcsin(sin x) = x и arccos(cos x) = x верны только тогда, когда x принадлежит соответствующему промежутку; аналогично для arctg(tg x) и arcctg(ctg x). За пределами этих промежутков результатом будет главное значение, а не исходный угол.

Полезны связи arcsin x + arccos x = π/2 и arcctg x = π/2 − arctg x. Чтобы вычислить sin(arccos x), можно положить t = arccos x: тогда cos t = x и sin t = √(1 − x²), поскольку t ∈ [0; π] и синус неотрицателен. Такие связи позволяют заменять одну обратную функцию другой и упрощать выражения.

Основные свойства обратных тригонометрических функций

В таблице собраны промежутки, знаки и ключевые значения функций. При вычислении сначала определите, к какому столбцу относится выражение, а затем проверьте, попадает ли полученный угол в множество значений этой функции.

Для arctg и arcctg значения ±π/2 не достигаются, потому что они соответствуют предельным значениям при неограниченном росте аргумента. Для arcsin и arccos концы области определения входят в неё, поэтому значения в точках 1 и −1 существуют.

Разбор задач

1. Вычислить arcsin(½), arccos(−√2/2), arctg(1) и arcctg(√3)

Нужно подобрать стандартные углы, а затем выбрать только те из них, которые принадлежат промежутку главных значений. Один и тот же результат тригонометрического уравнения может соответствовать нескольким углам, но обратная функция оставляет ровно один. Поэтому проверяем не только значение функции, но и допустимый промежуток.

1. Так как sin(π/6) = ½ и π/6 ∈ [−π/2; π/2], получаем arcsin(½) = π/6.
2. Поскольку cos(3π/4) = −√2/2 и 3π/4 ∈ [0; π], имеем arccos(−√2/2) = 3π/4.
3. Из tg(π/4) = 1 и π/4 ∈ (−π/2; π/2) следует arctg(1) = π/4.
4. Так как ctg(π/6) = √3 и π/6 ∈ (0; π), то arcctg(√3) = π/6.

Ответ: π/6; 3π/4; π/4; π/6 соответственно. Например, угол π/4 также имеет тангенс 1, но другие углы с тем же тангенсом не подходят для значения arctg.

2. Упростить sin(arccos x), если −1 ≤ x ≤ 1

Обозначим t = arccos x. Тогда t ∈ [0; π], а cos t = x. Требуется найти синус этого же угла, поэтому применяем основное тригонометрическое тождество и учитываем знак синуса на выбранном промежутке.

1. Из sin²t + cos²t = 1 получаем sin²t = 1 − cos²t = 1 − x².
2. Следовательно, sin t = ±√(1 − x²).
3. Так как t ∈ [0; π], синус неотрицателен, значит выбираем знак плюс.

Ответ: sin(arccos x) = √(1 − x²). Условие −1 ≤ x ≤ 1 гарантирует, что выражение под корнем неотрицательно и arccos x существует.

3. Решить уравнения 2arcsin x − π/3 = 0 и arctg(2x) = π/4

В первом уравнении сначала изолируем arcsin x, а во втором используем обратность арктангенса. После этого обязательно проверяем область определения исходной обратной функции. Это особенно важно для arcsin и arccos, где аргумент должен лежать в [−1; 1].

1. Из 2arcsin x − π/3 = 0 получаем arcsin x = π/6.
2. Применяем синус: x = sin(π/6) = ½. Число ½ принадлежит [−1; 1], поэтому решение допустимо.
3. Из arctg(2x) = π/4 применяем тангенс: 2x = tg(π/4) = 1.
4. Отсюда x = ½. Аргумент 2x определён при любом действительном x, поэтому дополнительного ограничения нет.

Ответ: в обоих уравнениях x = ½. Проверка возвращает исходные равенства: arcsin(½) = π/6 и arctg(1) = π/4.

Типичные ошибки

Запись arcsin x иногда принимают за 1/sin x. Ошибка возникает из-за внешнего сходства обозначений, но arcsin — название обратной функции, а не степень или дробь. Проверка проста: arcsin(½) — угол π/6, тогда как 1/sin x зависит от x.

Нельзя считать, что arcsin(sin x) всегда равно x. Функция arcsin обязана вернуть результат только из [−π/2; π/2], поэтому сначала нужно привести угол к этому промежутку. Для самопроверки сравните x с границами главного промежутка.

Часто путают области определения arcsin и arccos с их множествами значений или забывают условие −1 ≤ x ≤ 1. У обеих функций аргумент лежит в [−1; 1], но результаты находятся в разных промежутках. Перед вычислением выпишите область допустимых значений.

При работе с arcctg используют разные соглашения о промежутке значений. В данном курсе arcctg x ∈ (0; π), функция убывает, а arcctg 0 = π/2. Поэтому всегда сверяйте выбранный промежуток и проверяйте ответ подстановкой в ctg.

Связь с другими темами

Для обратных функций нужны графики, области определения, периоды и основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Без понимания периодичности трудно объяснить, зачем выбирают промежуток главных значений.

Обратные тригонометрические функции применяются при решении уравнений и неравенств, преобразовании выражений и построении графиков. Позднее они понадобятся при изучении производных, например производной arcsin x.

Что запомнить

• Обратная тригонометрическая функция возвращает главное значение угла.
• arcsin x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения от −π/2 до π/2.
• arccos x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения от 0 до π.
• arctg x определён при всех действительных x и принимает значения от −π/2 до π/2.
• arcctg x определён при всех действительных x и принимает значения от 0 до π.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.
• При упрощении выражений с обратными функциями всегда учитывайте промежутки главных значений.