1. Определение, свойства и графики обратных тригонометрических функций

Определения и обозначения

Обратная тригонометрическая функция возвращает значение угла по известному значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Исходную функцию ограничивают специальным промежутком, чтобы каждому допустимому числу соответствовал только один угол. Это отличает обратную функцию от простого поиска всех решений тригонометрического уравнения.

Арксинус записывают так: y = arcsin x. Это число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен x, то есть sin y = x. Арксинус нужен, когда по значению синуса требуется выбрать единственный главный угол.

Арккосинус y = arccos x — это число из отрезка [0; π], для которого cos y = x. Такое определение задаёт единственное значение даже тогда, когда косинус одного числа имеет множество углов. Поэтому область определения arccos ограничена: −1 ≤ x ≤ 1.

Арктангенс y = arctg x и арккотангенс y = arcctg x задаются равенствами tg y = x и ctg y = x. Для arctg главный промежуток равен (−π/2; π/2), а для arcctg — (0; π). Обе функции определены при любых действительных x, потому что тангенс и котангенс на выбранных промежутках принимают все действительные значения.

Как это устроено

Синус и косинус периодичны: например, sin y = sin(y + 2π), поэтому без ограничения одному значению соответствовало бы бесконечно много углов. Тангенс и котангенс тоже повторяют значения через π. Чтобы обратное соответствие стало функцией, выбирают промежуток, на котором каждое значение встречается ровно один раз.

Из уравнения sin y = x получают y = arcsin x, но такое равенство имеет смысл только при −1 ≤ x ≤ 1: именно такие значения принимает синус. Аналогично cos y = x приводит к y = arccos x и тому же ограничению на x. Уравнения tg y = x и ctg y = x не требуют ограничения x, поскольку эти функции на выбранных промежутках принимают любые действительные значения.

Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции. А её множество значений совпадает с тем промежутком аргумента, на котором исходную функцию оставили взаимно однозначной. Поэтому arcsin имеет область определения [−1; 1] и множество значений [−π/2; π/2], а arctg — область определения R и множество значений (−π/2; π/2).

График обратной функции получают отражением графика ограниченной исходной функции относительно прямой y = x: координаты каждой точки меняются местами. Для arcsin отражают ветвь y = sin x на [−π/2; π/2], для arccos — ветвь y = cos x на [0; π]. Такой же способ применяют к ветвям тангенса и котангенса на их главных промежутках.

Значение arcsin x или arccos x — не любой угол с нужным синусом или косинусом, а единственный угол из заранее выбранного промежутка. Поэтому arcsin(sin x) равно x только при x ∈ [−π/2; π/2]. Между функциями есть связи arccos x = π/2 − arcsin x и arcctg x = π/2 − arctg x, согласующиеся с выбранными промежутками.

Определения и основные свойства обратных тригонометрических функций

В таблице собраны условия, которые нужно проверять при вычислениях и преобразованиях. В строке «значения в основных точках» указаны удобные опорные значения; график каждой функции отражается относительно y = x от соответствующей ограниченной ветви.

Разбор задач

1. Вычислить arcsin(−1/2), arccos(√2/2), arctg 1 и arcctg(√3).

1. Ищем угол из [−π/2; π/2] с синусом −1/2: это −π/6, значит arcsin(−1/2) = −π/6.
2. Угол из [0; π] с косинусом √2/2 равен π/4, поэтому arccos(√2/2) = π/4.
3. Так как tg(π/4) = 1, получаем arctg 1 = π/4.
4. Котангенс угла π/6 равен √3, а π/6 принадлежит (0; π), поэтому arcctg(√3) = π/6.

Ответ: −π/6; π/4; π/4; π/6.

2. Решить уравнения arcsin x = π/6, arccos x = 2π/3 и arctg x = −1.

1. Применяем исходную функцию к обеим частям первого равенства: x = sin(π/6) = 1/2. Число входит в [−1; 1], значит решение допустимо.
2. Для второго уравнения x = cos(2π/3) = −1/2. Угол 2π/3 лежит в главном промежутке arccos, поэтому полученное значение подходит.
3. В третьем случае x = tg(−1). Здесь −1 — число, а не угол: решение можно оставить в виде x = tg(−1), и оно определено.

Ответ: x = 1/2; x = −1/2; x = tg(−1).

3. Упростить sin(arccos x) и указать область определения.

1. Обозначим y = arccos x. Тогда cos y = x, а y ∈ [0; π].
2. Из sin²y + cos²y = 1 получаем sin²y = 1 − x², значит |sin y| = √(1 − x²).
3. На отрезке [0; π] синус неотрицателен, поэтому знак выбираем «плюс»: sin(arccos x) = √(1 − x²).
4. Для arccos x необходимо −1 ≤ x ≤ 1; это же условие делает подкоренное выражение неотрицательным.

Ответ: √(1 − x²), −1 ≤ x ≤ 1.

Типичные ошибки

Запись arcsin x иногда принимают за 1/sin x. Ошибка появляется из-за слова «обратная», но проверить себя легко: arcsin x — это угол, а 1/sin x — число, обратное значению синуса.

Для arccos x указывают промежуток [−π/2; π/2]. Так переносят область значений arcsin на другую функцию; нужно сверяться с определением: arccos принимает значения от 0 до π.

Считают, что arcsin(sin x) всегда равно x. Проверьте, принадлежит ли x отрезку [−π/2; π/2]; если нет, результатом будет другой главный угол с тем же синусом.

При преобразованиях с arccos или arcsin неверно выбирают знак корня. Сначала обозначьте обратную функцию через угол и определите знак синуса или косинуса на его главном промежутке.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны определения, графики, области значений и табличные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции помогают решать уравнения и неравенства, когда неизвестное находится в аргументе тригонометрической функции.

Позже они используются при исследовании функций, вычислении производных и интегралов. В геометрии и физике обратные тригонометрические функции позволяют находить углы по отношениям сторон или направлениям.

Что запомнить

• Обратная функция выбирает единственный угол из заранее заданного главного промежутка.
• arcsin x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения от −π/2 до π/2.
• arccos x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения от 0 до π.
• arctg x определён при всех действительных x и принимает значения из (−π/2; π/2).
• arcctg x определён при всех действительных x и принимает значения из (0; π).
• График обратной тригонометрической функции получают отражением соответствующей ветви исходного графика относительно y = x.
• При преобразованиях нужно учитывать область определения и главный промежуток значений.