"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Обратные тригонометрические функции возвращают угол по известному значению синуса, косинуса или тангенса. Чтобы такое соответствие было однозначным, исходные функции ограничивают на специальных промежутках. При вычислении пределов особенно полезны замены x = sin t и x = tg t, а также эквивалентности arcsin x ~ x и arctg x ~ x при x → 0. Отдельно нужно следить за областью определения, знаком и модулем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обратная тригонометрическая функция восстанавливает аргумент по значению синуса, косинуса или тангенса. Обращение возможно только после ограничения исходной функции на промежутке монотонности, где каждому значению соответствует единственный аргумент. Поэтому обратная функция возвращает не любой угол, а угол из заранее выбранного главного промежутка.
Арксинус, или arcsin x, сопоставляет каждому x ∈ [−1; 1] единственный угол y ∈ [−π/2; π/2], для которого sin y = x. Например, arcsin ½ = π/6. Такой выбор позволяет однозначно находить угол и использовать арксинус в преобразованиях пределов.
Арккосинус, или arccos x, сопоставляет каждому x ∈ [−1; 1] единственный угол y ∈ [0; π], для которого cos y = x. Например, arccos ½ = π/3. Отрезок [0; π] выбран потому, что на нём косинус монотонно убывает.
Арктангенс, или arctg x, сопоставляет каждому действительному x единственный угол y ∈ (−π/2; π/2), для которого tg y = x. Тангенс на этом промежутке возрастает и принимает все действительные значения. Поэтому область определения арктангенса не ограничена отрезком.
Синус принимает одни и те же значения у разных углов, например sin π/6 = sin 5π/6. Если пытаться обратить синус на всей числовой прямой, одному числу соответствовало бы несколько углов, а функция была бы неоднозначной. Ограничение на [−π/2; π/2] оставляет монотонный участок и делает обратное соответствие функцией.
Аналогично косинус повторяет свои значения, поэтому для него выбирают участок [0; π], где он строго убывает. Тангенс повторяется с периодом π, но на (−π/2; π/2) непрерывен и строго возрастает. Именно поэтому у трёх обратных функций разные главные промежутки значений.
Область определения обратной функции ограничивает допустимые значения выражения внутри предела. Например, arcsin(3x) требует −1 ≤ 3x ≤ 1, а arccos(1 − 3x²) требует −1 ≤ 1 − 3x² ≤ 1. Даже если это условие выполняется только в некоторой окрестности точки, предел можно рассматривать, но проверка помогает не применять формулы вне смысла.
Чтобы убрать арксинус, полагают x = sin t, где t = arcsin x и t → 0, если x → 0. Тогда arcsin x превращается в t, а выражения с x — в выражения с sin t. Для арктангенса используют x = tg t, после чего arctg x = t и применяются обычные тригонометрические пределы.
Из стандартного предела sin t/t → 1 следуют arcsin x/x → 1 и arctg x/x → 1 при x → 0. Это означает эквивалентность бесконечно малых: arcsin x ~ x и arctg x ~ x. В более сложных задачах сначала проверяют, что внутренний аргумент действительно стремится к нулю, затем заменяют функцию эквивалентной величиной.
Для арккосинуса около единицы используют 1 − cos t = 2sin²(t/2), поэтому arccos(1 − u) ~ √(2u) при u → 0+. Здесь условие u ≥ 0 обязательно: оно связано с областью определения и появлением квадратного корня. Если u содержит квадрат переменной, нужно сохранить модуль.
| Функция или вид предела | Область допустимых значений | Точка стремления | Замена или сведение | Стандартный результат |
|---|---|---|---|---|
| arcsin x | x ∈ [−1; 1] | — | sin(arcsin x) = x | arcsin x ∈ [−π/2; π/2] |
| arccos x | x ∈ [−1; 1] | — | cos(arccos x) = x | arccos x ∈ [0; π] |
| arctg x | x ∈ R | — | tg(arctg x) = x | arctg x ∈ (−π/2; π/2) |
| arcsin x при x → 0 | x → 0 | 0 | x = sin t, t → 0 | arcsin x/x → 1 |
| arctg x при x → 0 | x → 0 | 0 | x = tg t, t → 0 | arctg x/x → 1 |
| arccos x при x → 1 | x ≤ 1, x ≥ −1 | 1 | x = 1 − u, u → 0+ | arccos x/√(2(1 − x)) → 1 |
| Пределы с аргументом вида kx или сложной функцией | Проверяется область определения | Аргумент → нужная точка | u = kx или u = f(x) | Применяется стандартный предел по u |
В таблице сначала находят строку, соответствующую виду выражения, а затем проверяют условие для внутреннего аргумента. Если аргумент сложный, его удобно обозначить новой буквой u. После этого стандартный результат возвращают к исходной переменной.
Строка с арккосинусом особенно полезна около точки x = 1, где обычное отношение arccos x/(x − 1) не имеет нужного вида. Формула показывает, что порядок малости арккосинуса определяется квадратным корнем из 1 − x. При работе с квадратами переменных следует заменить √(x²) на |x|.
Вычислить lim при x → 0: arcsin(3x)/x. Аргумент арксинуса стремится к нулю, поэтому можно выделить множитель, связанный со стандартным отношением. Это позволит не выполнять замену переменной полностью.
Ответ: 3.
Вычислить lim при x → 0: (arctg(2x) − arcsin x)/x. Здесь разность нельзя заменять одной эквивалентной величиной без проверки коэффициентов, поэтому разделим дробь на два слагаемых. Оба внутренних аргумента стремятся к нулю, так что стандартные пределы применимы.
Ответ: 1.
Вычислить lim при x → 0: arccos(1 − 3x²)/|x|. Внутри арккосинуса выражение стремится к единице, поэтому используется специальная формула около единицы. Кроме того, 3x² ≥ 0, а значит область определения выполняется при достаточно малых x.
Ответ: √6.
Ошибка: считать arcsin x величиной 1/sin x. Её допускают из-за одинакового слова «обратная», хотя речь идёт об обращении зависимости, а не о делении единицы на функцию. Проверка проста: arcsin ½ = π/6, тогда как 1/sin(½) — совсем другое число.
Ошибка: забывать главные промежутки и выбирать неправильный угол или знак. Например, arccos x не принимает отрицательных значений, потому что его значения лежат в [0; π]. Перед преобразованием сверяйте результат с диапазоном соответствующей функции.
Ошибка: применять arcsin u/u → 1 или arctg u/u → 1, не проверив, что u → 0. Эти формулы работают только при стремлении аргумента к нулю. Подставьте предел внутреннего выражения отдельно и лишь затем выбирайте стандартный результат.
Ошибка: игнорировать область определения в выражениях с arccos и корнями. Например, arccos(1 − 3x²) имеет смысл только там, где 1 − 3x² ∈ [−1; 1]. Выпишите это условие до сокращений и не забывайте, что √(x²) = |x|.
До изучения темы нужны области значений синуса, косинуса и тангенса, их монотонность на выбранных промежутках и основные тригонометрические пределы. Без этого трудно понять, почему обратные функции определены однозначно.
Вычисления опираются на эквивалентные бесконечно малые, замену переменной и свойства пределов. Эти приёмы позволяют сводить выражения с обратными функциями к уже известным стандартным формам.
Результаты применяются при исследовании функций, вычислении производных arcsin x, arccos x и arctg x, а также в задачах математического анализа. Умение проверять область определения полезно и при работе с корнями и составными функциями.
Чем arcsin x отличается от 1/sin x?
arcsin x — это угол, синус которого равен x. Запись 1/sin x обозначает обратную величину синуса, то есть 1/(sin x), а не угол.
Почему у арксинуса и арккосинуса разные главные промежутки значений?
Синус становится взаимно однозначным на отрезке [−π/2; π/2], а косинус — на отрезке [0; π]. Эти промежутки выбирают так, чтобы функции были монотонными и охватывали все возможные значения.
Почему предел arcsin x / x при x → 0 равен единице?
Положим x = sin t, тогда t = arcsin x и t → 0. Получаем t/sin t, а этот стандартный предел равен 1.
Можно ли сразу заменить arctg(f(x)) на f(x)?
Можно только в пределе, если f(x) → 0 и выражение используется как эквивалентность: arctg(f(x)) ~ f(x). Для точного равенства такая замена неверна.
Как учитывать модуль и знак в пределах с arccos?
Около единицы arccos(1 − u) ~ √(2u), где u → 0 и u ≥ 0. Если u содержит x², появляется |x|, поскольку √(x²) = |x|, а не x.
2. Вычисление пределов, связанных с обратными тригонометрическими функциями
