3. Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Определения и обозначения

Арксинус — обратная функция к синусу, если синус рассматривается на отрезке [−π/2; π/2]. Пишут y = arcsin x; область определения: [−1; 1], множество значений: [−π/2; π/2]. Это означает: arcsin x — такой угол из указанного отрезка, синус которого равен x.

Арккосинус — обратная функция к косинусу на отрезке [0; π]. Обозначение: y = arccos x, область определения [−1; 1], множество значений [0; π]. Выбор именно этого отрезка позволяет каждому допустимому x сопоставить единственный угол.

Арктангенс — обратная функция к тангенсу, ограниченному интервалом (−π/2; π/2). Его область определения — все действительные числа, а множество значений — (−π/2; π/2). Поэтому arctg x задаёт единственный угол, тангенс которого равен x.

Арккотангенс — обратная функция к котангенсу на интервале (0; π). Пишут y = arcctg x; область определения — ℝ, множество значений — (0; π). Такое соглашение фиксирует единственный угол для каждого действительного значения котангенса.

Как это устроено

Обратная функция существует как функция, когда каждому значению исходной функции соответствует ровно один аргумент. На всей числовой оси синус и косинус повторяют свои значения, поэтому одно число имело бы много прообразов. На выбранных отрезках синус и косинус строго монотонны, а значит, взаимно однозначны и допускают обратные функции.

Чтобы получить производную арксинуса, положим y = arcsin x, то есть sin y = x. Дифференцируя это равенство, получаем cos y · y′ = 1 и y′ = 1/cos y. Так как y лежит в [−π/2; π/2], cos y неотрицателен, а из sin²y + cos²y = 1 следует cos y = √(1 − x²); поэтому (arcsin x)' = 1/√(1 − x²).

Для arccos положим y = arccos x: тогда cos y = x. После дифференцирования −sin y · y′ = 1, откуда y′ = −1/sin y. На отрезке [0; π] синус неотрицателен, поэтому sin y = √(1 − x²), и получается (arccos x)' = −1/√(1 − x²). Отрицательный знак отражает убывание арккосинуса.

Если y = arctg x, то tg y = x, а производная тангенса равна 1/cos²y. Поэтому y′ = cos²y = 1/(1 + tg²y) = 1/(1 + x²). Аналогично для y = arcctg x используется производная котангенса −1/sin²y, что даёт (arcctg x)' = −1/(1 + x²). Для аргумента u(x) правило цепочки добавляет множитель u′(x), например (arcsin u(x))' = u′(x)/√(1 − u²(x)).

У arcsin и arccos формулы производных применимы при −1 < x < 1. В точках x = −1 и x = 1 знаменатель становится равным нулю, поэтому конечной производной там нет, хотя сами функции определены. У arctg и arcctg знаменатель 1 + x² всегда положителен, поэтому их производные существуют при любом действительном x.

Обратные тригонометрические функции и их производные

Сначала определите вид обратной функции и проверьте область допустимых значений её аргумента. Затем выберите строку «Производная» или «Производная сложной функции». Для arcsin и arccos отдельно убедитесь, что аргумент находится внутри интервала (−1; 1), если требуется конечная производная.

Разбор задач

Задача 1. Найти производную функции y = arctg x.

Аргумент функции совпадает с переменной x, поэтому внутренней сложной функции нет. Подходит табличная формула для арктангенса. Область определения — все действительные числа.

1. Записываем формулу: (arctg x)' = 1/(1 + x²).
2. Подставляем аргумент x без дополнительных множителей.
3. Проверяем знаменатель: 1 + x² > 0 при любом действительном x.

Ответ: y′ = 1/(1 + x²), x ∈ ℝ.

Задача 2. Найти производную функции y = arcsin(2x − 1) и указать область, на которой она определена.

Здесь аргумент арксинуса равен u(x) = 2x − 1. Сначала найдём область определения самой функции, а затем применим правило цепочки. Для существования производной аргумент должен находиться внутри (−1; 1).

1. Для функции arcsin требуется −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1, откуда 0 ≤ x ≤ 1.
2. Производная внутреннего выражения равна (2x − 1)' = 2.
3. По правилу цепочки y′ = 2/√(1 − (2x − 1)²).
4. Конечная производная существует при 0 < x < 1, потому что на концах знаменатель равен нулю.

Ответ: y′ = 2/√(1 − (2x − 1)²); функция определена на [0; 1], а производная существует на (0; 1).

Задача 3. Найти производную функции y = x·arccos x и исследовать, при каких x формула имеет смысл.

Это произведение двух функций: x и arccos x. Для самой функции необходимо −1 ≤ x ≤ 1, а для формулы производной — −1 < x < 1. Поэтому область определения функции и область существования конечной производной нужно различать.

1. По правилу произведения y′ = 1 · arccos x + x · (arccos x)'.
2. Подставляем (arccos x)' = −1/√(1 − x²).
3. Получаем y′ = arccos x − x/√(1 − x²).
4. Знаменатель не равен нулю только при −1 < x < 1.

Ответ: y′ = arccos x − x/√(1 − x²); формула имеет смысл при −1 < x < 1, сама функция определена при −1 ≤ x ≤ 1.

Типичные ошибки

Ошибка: записать (arcsin x)' = 1/(1 + x²), перепутав арксинус с арктангенсом. Такое происходит из-за похожего вида формул; проверить себя можно по знаменателю: у arcsin стоит √(1 − x²), а у arctg — 1 + x².

Ошибка: забыть производную внутреннего выражения в arcsin(u(x)), arccos(u(x)) или arctg(u(x)). Причина — применение только табличной формулы; после дифференцирования нужно отдельно найти u′(x) и умножить на него.

Ошибка: считать arcsin x и arccos x определёнными для любого x. Их аргумент обязан удовлетворять условию −1 ≤ x ≤ 1, которое следует проверять до вычисления производной.

Ошибка: потерять минус в формулах arccos и arcctg. Оба соответствующих обратных графика убывают, поэтому их производные отрицательны; знак удобно контролировать и по таблице, и по поведению функции.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения обратной функции, области определения и множества значений, а также производные элементарных функций и правило цепочки. Обратные тригонометрические функции применяются при исследовании функций, нахождении касательных и экстремумов. Их производные также помогают при интегрировании выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Что запомнить

• arcsin x определён при −1 ≤ x ≤ 1, а его значения лежат в [−π/2; π/2].
• arccos x определён при −1 ≤ x ≤ 1, а его значения лежат в [0; π].
• (arcsin x)' = 1/√(1 − x²).
• (arccos x)' = −1/√(1 − x²).
• (arctg x)' = 1/(1 + x²).
• (arcctg x)' = −1/(1 + x²).
• Для сложного аргумента нужно умножать табличную производную на производную аргумента.