"Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень", Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Обратные тригонометрические функции помогают находить угол по известному значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Чтобы такая функция была однозначной, исходную функцию ограничивают специальным промежутком. Главное — помнить диапазоны значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, а также учитывать область определения при применении тождеств.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арксинус числа x, обозначаемый arcsin x, — обратная функция синуса, если синус рассматривается на отрезке [−π/2; π/2]. Его область определения — [−1; 1], а множество значений — [−π/2; π/2]. Это позволяет по значению синуса однозначно выбрать угол.
Арккосинус числа x, arccos x, — обратная функция косинуса на отрезке [0; π]. Область определения арккосинуса — [−1; 1], множество значений — [0; π]. Такой диапазон нужен, чтобы результатом всегда был один определённый угол.
Арктангенс числа x, arctg x, — обратная функция тангенса на интервале (−π/2; π/2). Он определён при всех действительных x, а принимает значения только из (−π/2; π/2). Поэтому arctg x обозначает единственный угол из этого интервала с тангенсом x.
Арккотангенс числа x, arcctg x, — обратная функция котангенса на интервале (0; π). Его область определения — все действительные числа, а множество значений — (0; π). Выбранный интервал задаёт единственный угол, котангенс которого равен x.
Обычный синус одного и того же числа принимает одинаковые значения у разных углов, поэтому на всей числовой прямой обратную функцию определить нельзя однозначно. На отрезке [−π/2; π/2] синус возрастает и каждое значение от −1 до 1 встречает ровно один раз. Именно поэтому ограничение области исходной функции превращает синус в функцию, имеющую обратную.
Косинус на отрезке [0; π] убывает от 1 до −1 и также принимает каждое значение только один раз. Если взять углы α = arcsin x и β = arccos x, то sin α = x и cos β = x. Значит, sin α = cos β = sin(π/2 − β), а оба угла α и π/2 − β лежат в [−π/2; π/2], где синус однозначен; поэтому α = π/2 − β и arcsin x + arccos x = π/2 при x ∈ [−1; 1].
Синус и тангенс — нечётные функции: изменение знака аргумента меняет знак их значения. Из единственности угла в выбранных промежутках следуют arcsin(−x) = −arcsin x и arctg(−x) = −arctg x. У косинуса и котангенса другая симметрия: если угол с нужным значением равен α, то для противоположного аргумента подходят π − α, поэтому arccos(−x) = π − arccos x и arcctg(−x) = π − arcctg x.
Угол arctg x лежит между −π/2 и π/2, а arcctg x — между 0 и π. Для одного и того же x их тангенс и котангенс соответствуют дополнительным углам, поэтому arctg x + arcctg x = π/2. При преобразованиях нельзя забывать о выбранных промежутках: одинаковое тригонометрическое значение может соответствовать нескольким углам, но обратная функция возвращает только угол из своего диапазона.
| Тождество | Область допустимых значений | Что объясняет |
|---|---|---|
| arcsin x + arccos x = π/2 | x ∈ [−1; 1] | Дополнительность углов |
| arcsin(−x) = −arcsin x | x ∈ [−1; 1] | Нечётность арксинуса |
| arccos(−x) = π − arccos x | x ∈ [−1; 1] | Симметрию арккосинуса |
| arctg(−x) = −arctg x | x ∈ ℝ | Нечётность арктангенса |
| arcctg(−x) = π − arcctg x | x ∈ ℝ | Симметрию арккотангенса |
| arctg x + arcctg x = π/2 | x ∈ ℝ | Связь двух обратных функций |
| sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x | x ∈ [−1; 1] | Обратимость синуса и косинуса |
| tg(arctg x) = x и ctg(arcctg x) = x | x ∈ ℝ | Обратимость тангенса и котангенса |
Сначала найдите аргументы функций и проверьте, входят ли они в допустимые области. Затем выберите формулу, которая учитывает знак аргумента и диапазон значений нужной обратной функции.
Особенно внимательно применяйте формулы с arccos и arcctg: они не являются нечётными функциями. Если в выражении появляются взаимно обратные функции, сначала убедитесь, что внутренняя величина попадает в область, где соответствующая функция действительно определена.
Оба аргумента равны 1/2 и принадлежат отрезку [−1; 1], поэтому тождество суммы применимо. Не требуется отдельно находить каждый угол: формула сразу учитывает их выбранные диапазоны.
Ответ: π/2.
Аргумент −√3/2 принадлежит [−1; 1], значит обе функции определены. Можно применить тождество напрямую, но полезно проверить ветви: arccos(−√3/2) должен лежать в [0; π], а arcsin(−√3/2] — в [−π/2; π/2].
Ответ: π/2.
Здесь нельзя сразу записать один результат для всех x. Арктангенс возвращает углы только из (−π/2; π/2), поэтому знак x определяет, по разные ли стороны от нуля находятся два слагаемых.
Ответ: π/2 при x > 0; −π/2 при x < 0.
1. Считать arcsin и arccos одинаковыми обратными функциями. Их связывает одно тождество, но диапазоны значений различны. Проверьте, в каком промежутке должен находиться полученный угол.
2. Записывать arccos(−x) = −arccos x. Так поступают по аналогии с арксинусом, хотя значения арккосинуса не бывают отрицательными. Используйте проверку диапазона и формулу π − arccos x.
3. Применять arctg x + arctg(1/x) = π/2 при любом x. При отрицательном x оба арктангенса отрицательны, поэтому сумма равна −π/2. Перед применением формулы разделите решение на случаи x > 0 и x < 0.
4. Считать arcsin(sin x) = x при любом x. Арксинус возвращает только угол из [−π/2; π/2], поэтому равенство верно лишь при x из этого отрезка. Если угол находится вне него, нужно сначала заменить его равным по синусу углом из допустимого диапазона.
Для понимания темы нужны определения обратной функции, единичная окружность и основные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Также важно уметь находить область определения и множество значений функции, чтобы правильно выбирать угол на заданном промежутке. Эти тождества применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, упрощении выражений и изучении производных обратных тригонометрических функций.
Почему arcsin x и arccos x нельзя считать одной и той же обратной функцией?
Они являются обратными к разным функциям и задаются на разных промежутках: синус ограничивают отрезком [−π/2; π/2], а косинус — [0; π]. Поэтому arcsin x принимает значения от −π/2 до π/2, а arccos x — от 0 до π.
Почему arccos(−x) не равен −arccos x?
Арккосинус не является нечётной функцией: его значения всегда лежат в [0; π], поэтому отрицательное значение −arccos x обычно недопустимо. Верная формула имеет вид arccos(−x) = π − arccos x.
Как быстро выбрать правильный угол при вычислении арксинуса или арккосинуса?
Сначала найдите известный угол с нужным значением синуса или косинуса. Затем выберите его с учётом диапазона: для arcsin — из [−π/2; π/2], для arccos — из [0; π].
Всегда ли сумма arctg x и arctg(1/x) равна π/2?
Нет. При x > 0 сумма равна π/2, а при x < 0 — −π/2. Причина различия заключается в диапазоне значений арктангенса и знаке аргумента.
Как проверить, что тождество для обратной тригонометрической функции применимо к данному выражению?
Проверьте область определения всех обратных функций и диапазоны их значений. Затем убедитесь, что знак аргумента и выбранная ветвь функции соответствуют формуле.
4. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций
