5. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Арксинус числа x, или y = arcsin x, — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен x. Его область определения: [−1; 1], множество значений: [−π/2; π/2]. Такой выбор позволяет получить одно главное значение угла.

Арккосинус числа x, или y = arccos x, — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен x. Область определения арккосинуса — [−1; 1], множество значений — [0; π], причём функция убывает. Это помогает решать задачи, где косинус задан, а угол нужно восстановить однозначно.

Арктангенс числа x, или y = arctg x, — угол из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен x. Он определён при любом действительном x, а его значения лежат в (−π/2; π/2). Поэтому arctg удобно применять для выражения угла через тангенс.

Арккотангенс числа x, или y = arcctg x, — угол из интервала (0; π), котангенс которого равен x. В школьной записи принимают именно эту ветвь, поэтому arcctg x определён при всех действительных x и убывает. Выбор интервала устраняет неоднозначность, связанную с периодичностью котангенса.

Как это устроено

Синус, косинус, тангенс и котангенс на всей области определения повторяют свои значения, поэтому не имеют обратной функции в обычном смысле. Например, одному значению синуса соответствуют разные углы. На специальных промежутках каждая исходная функция становится взаимно однозначной: каждому аргументу соответствует ровно одно значение и наоборот.

Главным значением называют единственный угол, выбранный из такого промежутка. Благодаря этому запись arcsin x означает не все решения уравнения sin y = x, а только одно число из [−π/2; π/2]. Остальные углы можно получить отдельно с помощью периодичности, если это требуется условием задачи.

Обратные функции связаны с исходными тождествами sin(arcsin x) = x, cos(arccos x) = x и tg(arctg x) = x. Первые два равенства имеют смысл при −1 ≤ x ≤ 1, потому что синус и косинус не принимают других значений. Обратные композиции arcsin(sin x) и arccos(cos x) требуют, чтобы исходный угол уже лежал в выбранном промежутке.

Чтобы решить уравнение с обратной функцией, сначала находят ОДЗ, то есть допустимые значения переменной. Затем используют определение, например заменяют arcsin(2x − 1) = π/6 на 2x − 1 = sin(π/6). После преобразований все найденные корни подставляют в исходное уравнение, поскольку некоторые операции могут расширить множество решений.

В неравенствах используют монотонность. Арксинус и арктангенс возрастают, поэтому знак сравнения сохраняется, а арккосинус и арккотангенс убывают, поэтому знак меняется. Сначала обязательно пересекают полученный ответ с общей областью определения.

Графики показывают, что арксинус возрастает от −π/2 до π/2, а арккосинус убывает от π до 0. Обе функции существуют только при −1 ≤ x ≤ 1, но имеют разные множества значений.

Основные обратные тригонометрические функции

Таблица показывает, с какого промежутка исходной функции строится обратная и какие значения допустимы для аргумента. Для полного решения задач нужно также помнить свойства арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, описанные выше. Особенно полезно сверять по таблице область определения и направление монотонности.

Разбор задач

1. Уравнение arcsin(2x − 1) = π/6

Арксинус равен π/6, значит его аргумент должен быть равен синусу этого угла. До преобразования проверим, что аргумент 2x − 1 может принадлежать [−1; 1]. В данном случае найденное значение автоматически удовлетворяет этому условию.

1. Запишем по определению: 2x − 1 = sin(π/6) = ½.
2. Получим 2x = 3/2, откуда x = 3/4.
3. Проверим ОДЗ: −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1, а при x = 3/4 аргумент равен 1/2.

Ответ: x = 3/4.

2. Уравнение arctg x + arctg(2x) = π/4

Обозначим A = arctg x и B = arctg(2x). Применение тангенса даст необходимое условие, но тангенс не является взаимно однозначным на всей числовой прямой, поэтому затем нужно учесть диапазон суммы и проверить корни.

1. Используем формулу tg(A + B) = (tg A + tg B)/(1 − tg A · tg B): 1 = (x + 2x)/(1 − 2x²).
2. После раскрытия получаем 2x² + 3x − 1 = 0, поэтому x = (−3 ± √17)/4.
3. Для равенства тангенсов знаменатель должен быть положительным: 1 − 2x² > 0. Отрицательный корень этому условию не соответствует, а x = (−3 + √17)/4 соответствует.
4. Для оставшегося положительного корня сумма A + B лежит в (0; π/2), поэтому из тангенса 1 следует A + B = π/4.

Ответ: x = (−3 + √17)/4.

3. Неравенство arcsin x > arccos x

Сначала находим общую область определения: обе функции существуют только при −1 ≤ x ≤ 1. Затем заменяем арккосинус формулой arccos x = π/2 − arcsin x. После этого остаётся неравенство только с арксинусом, который возрастает.

1. Получаем arcsin x > π/2 − arcsin x.
2. Переносим слагаемые: 2 arcsin x > π/2, то есть arcsin x > π/4.
3. Так как арксинус возрастает, применяем синус: x > sin(π/4) = √2/2.
4. Пересекаем с ОДЗ [−1; 1].

Ответ: x ∈ (√2/2; 1].

Типичные ошибки

Ошибка: записывать arcsin(sin x) = x при любом x. Так делают, забывая, что арксинус возвращает угол только из [−π/2; π/2]. Проверяйте, принадлежит ли исходный угол этому отрезку.

Ошибка: не учитывать ограничения на аргумент arcsin и arccos. Аргумент каждой из этих функций обязан лежать в [−1; 1], иначе выражение не имеет действительного смысла. Составьте ОДЗ до начала преобразований и подставьте ответ обратно.

Ошибка: после применения тангенса принимать все корни квадратного уравнения. Равенство тангенсов может соответствовать углам, отличающимся на π, поэтому возникают посторонние значения. Проверяйте знак знаменателя, диапазон суммы и исходное уравнение.

Ошибка: решать неравенство с арккосинусом или арккотангенсом как с возрастающей функцией. Эти функции убывают, поэтому при сравнении их аргументов знак меняется. Перед преобразованием определите монотонность функции.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны области определения, множества значений и промежутки монотонности основных тригонометрических функций. Эти сведения объясняют, почему для обратных функций выбирают специальные ветви.

В решениях используются формулы приведения, тригонометрические тождества, свойства неравенств и проверка корней. Без них трудно преобразовать выражения и отсеять посторонние ответы.

Тема пригодится при решении тригонометрических уравнений, исследовании функций и графиков, а позднее — при изучении производной. Обратные функции помогают связывать значение функции с соответствующим аргументом.

Что запомнить

• Обратная функция существует на промежутке, где исходная функция взаимно однозначна.
• arcsin x и arctg x возрастают, а arccos x и arcctg x убывают.
• Для arcsin x и arccos x необходимо −1 ≤ x ≤ 1.
• Главные значения arcsin x лежат в [−π/2; π/2], а arccos x — в [0; π].
• После преобразований уравнения нужно проверять ОДЗ и исходное условие.
• При решении неравенств направление сравнения зависит от монотонности обратной функции.