11*. Некоторые неравенства для тригонометрических функций

Определения и обозначения

Радианная мера угла — способ измерять угол длиной дуги единичной окружности, опирающейся на этот угол. Полный оборот равен 2π радианам, а прямой угол — π/2. Именно такая мера нужна, чтобы геометрические длины и числа в неравенствах совпадали.

Основные тригонометрические неравенства — оценки значений синуса, косинуса и тангенса через число x. Например, |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1 ограничивают значения функций, а сравнение sin x с x помогает работать с малыми углами.

Неравенство sin x < x означает, что для 0 < x < π/2 синус положительного угла меньше самого угла, измеренного в радианах. Оно показывает, почему при малых x значение sin x близко к x, но не превосходит его.

Неравенство x < tg x утверждает, что на том же интервале тангенс больше аргумента. Вместе с первой оценкой оно образует цепочку sin x < x < tg x и позволяет зажать отношение sin x/x между двумя простыми выражениями.

Как это устроено

Рассмотрим единичную окружность и угол x, где 0 < x < π/2. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, меньше площади сектора, а площадь сектора меньше площади внешнего треугольника с касательной. Эти три площади соответственно равны ½sin x, ½x и ½tg x, поэтому после умножения на 2 получается sin x < x < tg x.

В этой цепочке число x должно быть радианной мерой. Действительно, площадь сектора единичного круга равна половине длины дуги, умноженной на радиус, то есть ½x только тогда, когда длина дуги равна x. В градусах длина дуги выражалась бы через множитель π/180, поэтому простая запись с x исчезла бы.

Из sin x < x < tg x можно получить оценку для отношения sin x/x. Все величины положительны, поэтому делим первое неравенство на x и второе подставляем через tg x = sin x/cos x. Из x < sin x/cos x следует cos x < sin x/x, а из sin x < x — sin x/x < 1.

Для отрицательных значений используем нечётность: sin(−x) = −sin x и tg(−x) = −tg x. Если t > 0, то sin t < t превращается в sin(−t) > −t, то есть sin x > x при x < 0; аналогично tg x < x. Объединяя два направления, получаем удобную симметричную оценку |sin x| ≤ |x| для любого действительного x.

На других промежутках оценки получают с помощью периодичности и симметрии. Синус и косинус повторяют значения через 2π, а их знаки и значения в связанных точках определяются формулами приведения; тангенс повторяется через π и не определён при x = π/2 + πk. Поэтому сначала выбирают соответствующий участок, где известны знаки и область определения, а затем переносят результат.

Основные неравенства для тригонометрических функций

Сначала проверьте условие в первой колонке: оно определяет, можно ли применять формулу напрямую. В строках со строгими знаками граничная точка x = 0 не входит в указанный интервал, поэтому речь идёт о предельном равенстве.

Разбор задач

Сравнить sin 0,5 и 0,5, а также tg 0,5 и 0,5

Число 0,5 считаем радианной мерой, поскольку не указаны градусы. Оно положительно и меньше π/2 примерно 1,57, значит, подходит для основной цепочки.

1. Подставляем x = 0,5 в sin x < x < tg x.
2. Получаем sin 0,5 < 0,5 и 0,5 < tg 0,5.
3. Следовательно, sin 0,5 меньше 0,5, а tg 0,5 больше 0,5.

Ответ: sin 0,5 < 0,5 < tg 0,5.

Доказать неравенство 1 − cos x < x²/2 для 0 < x < π

Здесь удобно превратить косинус в квадрат синуса половинного угла. Так как x/2 лежит между 0 и π/2, к нему применима строгая оценка синуса.

1. Используем тождество 1 − cos x = 2sin²(x/2).
2. Из |sin t| ≤ |t| при t = x/2 получаем sin²(x/2) ≤ x²/4, а при x > 0 равенство невозможно.
3. Умножаем на 2: 1 − cos x = 2sin²(x/2) < 2 · x²/4 = x²/2.

Ответ: 1 − cos x < x²/2.

Оценить погрешность приближения sin x числом x при |x| ≤ 0,1

Погрешность равна |x − sin x|. Одной оценки |sin x| ≤ |x| достаточно для грубой границы 0,1, но основные неравенства дают более точный результат.

1. Для положительного x из cos x < sin x/x следует 0 < x − sin x < x(1 − cos x).
2. По тождеству и предыдущей оценке 1 − cos x < x²/2, поэтому |x − sin x| < |x|³/2; нечётность переносит результат на отрицательные x.
3. При |x| ≤ 0,1 имеем |x|³/2 ≤ 0,1³/2 = 0,0005.

Ответ: погрешность меньше 0,0005.

Типичные ошибки

Градусы вместо радиан. Подстановка 30 или 45 в формулу sin x < x смешивает разные единицы измерения. Ошибка возникает из-за привычки измерять углы в градусах; проверьте, есть ли обозначение °, и переведите угол в радианы.

Применение x < tg x при любых x. Тангенс не определён при x = π/2 + πk, а на отрицательных промежутках знак сравнения меняется. Сначала найдите область определения и знак x, затем выберите подходящую форму оценки.

Замена строгого знака равенством. Из sin x < x нельзя заключать, что sin x = x для любого угла. Равенство в симметричной оценке |sin x| ≤ |x| возможно только при x = 0.

Игнорирование нечётности. Нельзя просто перенести результат для положительного x на отрицательный, сохранив знак. Подставьте −t вместо x и используйте sin(−t) = −sin t, tg(−t) = −tg t.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны единичная окружность, радианная мера, определения sin x, cos x и tg x, а также свойства чётности и нечётности функций. Эти неравенства лежат в основе первого замечательного предела lim(sin x/x) при x → 0: отношение зажимается между cos x и 1. Кроме того, они помогают оценивать погрешности приближений и исследовать знаки тригонометрических выражений.

Что запомнить

• В неравенствах sin x < x < tg x угол x измеряется в радианах.
• При 0 < x < π/2 выполняется sin x < x < tg x.
• Для любого действительного x справедливо |sin x| ≤ 1.
• Для любого действительного x справедливо |cos x| ≤ 1.
• Для любого действительного x выполняется |sin x| ≤ |x|.
• Равенство |sin x| = |x| возможно только при x = 0.
• При малых x синус можно оценивать числом x, но нужно учитывать радианную меру угла.