10. Решение тригонометрических неравенств

Определения и обозначения

Тригонометрическое неравенство — неравенство, в котором есть тригонометрическая функция от переменной: например, sin x > ½. Перед решением указывают область допустимых значений, то есть значения x, при которых исходное выражение существует. Это особенно важно для tg x и ctg x.

Решение тригонометрического неравенства — значение или промежуток значений переменной, при которых неравенство становится верным. Например, для sin x ≥ ½ решения образуют целые промежутки, а не одну точку. Такой способ записи сразу показывает все подходящие значения.

Множество решений — объединение всех промежутков и отдельных точек, удовлетворяющих неравенству. Поскольку тригонометрические функции периодичны, одинаковые промежутки повторяются бесконечно. В ответе их объединяют с помощью целого параметра k.

Промежутки знакопостоянства — интервалы, на которых тригонометрическое выражение сохраняет один знак. Их находят после определения нулей выражения и точек, где оно не существует. Эти промежутки нужны для метода интервалов и выбора знака произведения.

Как это устроено

Единичная окружность позволяет решать неравенства с синусом и косинусом по координатам точки. Синус — это ордината, поэтому для sin x > a выбирают дуги выше горизонтальной линии y = a, а для sin x < a — ниже неё. Косинус — абсцисса, поэтому условие cos x > a означает выбор правой части окружности относительно вертикальной линии x = a.

Каждой точке единичной окружности соответствуют углы, отличающиеся на полный оборот 2π. Поэтому найденный на одном обороте промежуток нужно повторить: к его границам добавляют 2πk, где k ∈ Z. Для тангенса и котангенса достаточно πk, потому что их значения повторяются через половину оборота.

Если −1 ≤ a ≤ 1, граничные углы для синуса выражают через arcsin a, а для косинуса — через arccos a. Например, sin x ≥ a означает выбрать часть окружности между углами arcsin a и π − arcsin a на каждом обороте. Для косинуса условие cos x ≥ a даёт промежуток от −arccos a до arccos a с добавлением 2πk.

У тангенса область определения исключает точки x = π/2 + πk, а у котангенса — x = πk. На каждом промежутке между соседними точками разрыва тангенс возрастает, а котангенс убывает. Поэтому знак неравенства можно решать сравнением с arctg a или соответствующим значением котангенса, но границы разрывов добавлять нельзя.

Сложное неравенство сначала стараются превратить в знакомую форму. Если выражение является многочленом от sin x или cos x, вводят t = sin x или t = cos x и учитывают −1 ≤ t ≤ 1. Если есть произведение множителей, находят их нули, разбивают период на промежутки и применяют метод интервалов.

Основные способы решения простейших тригонометрических неравенств

Сначала определите опорное значение и выберите удобный способ: окружность, график или монотонность. Затем проверьте область определения исходной функции. В конце внимательно решите, включаются ли границы по знаку неравенства.

Разбор задач

1. Неравенство sin x ≥ ½

Нужно найти дуги единичной окружности, на которых ордината точки не меньше ½. Равенство sin x = ½ достигается при углах π/6 и 5π/6 на одном обороте. Знак «≥» означает, что граничные точки входят в ответ.

1. На окружности отмечаем углы π/6 и 5π/6.
2. Выбираем дугу между ними, потому что на ней синус не меньше ½.
3. Повторяем дугу на каждом обороте, добавляя 2πk.

Ответ: x ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk], k ∈ Z.

2. Неравенство 2cos²x − 3cos x + 1 ≤ 0

В выражении встречаются только степени cos x, поэтому удобно заменить cos x одной переменной. После решения квадратного неравенства нужно помнить, что t = cos x принимает значения только на отрезке [−1; 1]. Получившееся условие для косинуса решаем по единичной окружности.

1. Полагаем t = cos x и получаем 2t² − 3t + 1 ≤ 0.
2. Разлагаем: (2t − 1)(t − 1) ≤ 0, поэтому ½ ≤ t ≤ 1.
3. Возвращаемся к x: cos x ≥ ½, так как cos x ≤ 1 выполняется всегда.
4. На каждом периоде это даёт промежуток [−π/3 + 2πk; π/3 + 2πk].

Ответ: x ∈ [−π/3 + 2πk; π/3 + 2πk], k ∈ Z.

3. Неравенство (sin x − ½)(cos x + √2/2) > 0

Произведение положительно, когда оба множителя положительны или оба отрицательны. На отрезке [0; 2π) отметим нули: π/6 и 5π/6 для первого множителя, 3π/4 и 5π/4 для второго. Эти точки разбивают период на интервалы, где знак каждого множителя постоянен.

1. Проверяем знаки на получившихся промежутках и оставляем интервалы, где знаки совпадают.
2. Получаем (π/6; 3π/4) и (5π/6; 5π/4).
3. Точки равенства не включаем, потому что неравенство строгое.
4. Добавляем все периоды 2πk.

Ответ: x ∈ (π/6 + 2πk; 3π/4 + 2πk) ∪ (5π/6 + 2πk; 5π/4 + 2πk), k ∈ Z.

Типичные ошибки

Потеря общего решения. Иногда находят ответ только на отрезке [0; 2π] и забывают повторить его. Ошибка возникает из-за смешения «одного оборота» и всей числовой прямой; проверьте, есть ли в записи 2πk или πk.

Неверное включение границ. При строгом неравенстве точки равенства исключаются, а при нестрогом включаются, если функция определена. Полезно подставить граничную точку в исходное неравенство и проверить результат.

Игнорирование области определения. При решении с tg или ctg иногда включают точки, где знаменатель исходной функции равен нулю. Выпишите запрещённые значения до преобразований и удалите их из окончательного ответа.

Неправильный выбор дуг или промежутков. Причиной бывает путаница между ординатой синуса и абсциссой косинуса либо забытая монотонность котангенса. Проверяйте по одной контрольной точке каждый выбранный промежуток.

Связь с другими темами

До этой темы нужны значения тригонометрических функций, единичная окружность, формулы приведения, периоды и свойства монотонности. Также необходимы квадратные неравенства, разложение на множители и метод интервалов. Тригонометрические неравенства применяются при исследовании функций, решении систем и совокупностей, а позднее — при изучении производной и математического анализа.

Что запомнить

• Ответ тригонометрического неравенства обычно записывают в виде промежутков.
• Период синуса и косинуса равен 2π, а период тангенса и котангенса — π.
• При решении учитывают область определения исходного выражения.
• Для синуса и косинуса удобно использовать единичную окружность.
• Для тангенса и котангенса учитывают монотонность на каждом промежутке определения.
• В нестрогом неравенстве точки равенства включаются, если функция в них определена.
• После преобразований проверяют, не появились ли посторонние решения.