9. Решение простейших тригонометрических неравенств

Определения и обозначения

Простейшее тригонометрическое неравенство — это неравенство вида sin x > a, cos x ≤ a, tg x < a или ctg x ≥ a. В нём одна тригонометрическая функция сравнивается с числом. Такие неравенства служат основой для более сложных задач, где сначала выделяют один тригонометрический фрагмент.

Арксинус числа a — угол из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Его обозначают arcsin a. Это главное значение, от которого затем находят все остальные углы с тем же синусом.

Арккосинус числа a — угол из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Обозначение — arccos a. Такой выбор промежутка делает арккосинус однозначным и помогает определить границы нужных дуг окружности.

Арктангенс и арккотангенс — значения обратных тригонометрических функций, используемые для нахождения граничных углов. Обычно пишут arctg a и arcctg a. После их нахождения остаётся учесть монотонность функции, период и область определения.

Как это устроено

На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу x, равны (cos x; sin x). Поэтому условие sin x > a означает, что точка находится выше горизонтальной линии y = a, а cos x < a — левее вертикальной границы с абсциссой a. Отметив граничные точки, легко увидеть подходящие дуги.

Одной дуги недостаточно, потому что тригонометрические функции повторяют значения. Для синуса и косинуса достаточно рассмотреть один оборот длиной 2π, а затем прибавить 2πk. Так получают все решения: x = x₀ + 2πk или целые интервалы с таким же добавлением, где k ∈ Z.

Тангенс возрастает на каждом промежутке определения, поэтому сравнение tg t с числом можно заменить сравнением t с arctg a без изменения знака. Котангенс, наоборот, убывает, поэтому при переходе к аргументу направление неравенства меняется. После этого учитывают все промежутки периода π.

Область определения нельзя отделять от решения. Тангенс не существует при x = π/2 + πk, поскольку в этих точках cos x = 0, а котангенс не существует при x = πk, поскольку sin x = 0. Такие точки не включают в ответ даже при нестрогом знаке.

Если |a| > 1, сравнение синуса или косинуса с a решается по диапазону их значений [−1; 1]. Например, sin x > 2 невозможно, а sin x ≤ 2 выполняется при всех x. Для тангенса и котангенса ограничений на число a нет: они принимают любые действительные значения, но остаются разрывы.

Решение простейших тригонометрических неравенств

В таблице собраны основные схемы. Буква t обозначает аргумент функции; после решения относительно t нужно вернуться к исходному выражению. При строгом знаке граничные точки исключают, а при нестрогом включают только тогда, когда функция определена.

Разбор задач

1. Неравенство sin x ≥ ½

1. На единичной окружности синус равен ½ при углах π/6 и 5π/6. Между ними ордината точки не меньше ½.
2. В пределах одного периода получаем π/6 ≤ x ≤ 5π/6. Так как период синуса равен 2π, добавляем 2πk.
3. Знак неравенства нестрогий, поэтому оба граничных угла входят в ответ.

Ответ: π/6 + 2πk ≤ x ≤ 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

2. Неравенство cos(2x − π/3) < −√2/2

1. Обозначим t = 2x − π/3. Косинус меньше −√2/2 на промежутке 3π/4 < t < 5π/4 с учётом периода 2π: 3π/4 + 2πk < t < 5π/4 + 2πk.
2. Подставляем выражение для t: 3π/4 + 2πk < 2x − π/3 < 5π/4 + 2πk.
3. Прибавляем π/3 и делим все части на 2. Получаем 13π/24 + πk < x < 19π/24 + πk.

Ответ: 13π/24 + πk < x < 19π/24 + πk, k ∈ Z.

3. Неравенство ctg(3x + π/6) ≤ −1/√3

1. Положим t = 3x + π/6. На интервале (0; π) котангенс убывает, а arcctg(−1/√3) = 2π/3. Поэтому ctg t ≤ −1/√3 при 2π/3 ≤ t < π.
2. С учётом периода π: 2π/3 + πk ≤ t < π + πk. Правая граница исключена, поскольку при t = π + πk котангенс не определён.
3. Подставляем t и решаем двойное неравенство: 2π/3 + πk ≤ 3x + π/6 < π + πk. После вычитания π/6 и деления на 3 получаем π/6 + πk/3 ≤ x < 5π/18 + πk/3.

Ответ: π/6 + πk/3 ≤ x < 5π/18 + πk/3, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Использование периода 2π для тангенса или котангенса даёт неполный ответ: их значения повторяются через π. Проверяйте период непосредственно по формулам tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

Иногда записывают только один промежуток, забывая остальные. Причина — рассмотрение лишь одного оборота без добавления периода. После нахождения базового интервала обязательно дописывайте 2πk для синуса и косинуса или πk для тангенса и котангенса.

Неверное направление сравнения часто появляется при работе с косинусом или убывающим котангенсом. Проверьте знак на тестовой точке и вспомните: tg возрастает, а ctg убывает. Это быстро показывает, в какую сторону должен идти промежуток.

Ещё одна ошибка — включение точек разрыва или неправильный учёт равенства. Для tg исключают π/2 + πk, для ctg — πk; знак ≥ или ≤ включает только допустимые граничные точки. Полезно отдельно проверить каждую границу подстановкой в исходную функцию.

Связь с другими темами

Для решения нужны единичная окружность, значения тригонометрических функций, их графики, периоды и промежутки монотонности. Эти знания позволяют выбирать дуги и преобразовывать неравенство без механического запоминания формул.

Простейшие неравенства входят в системы и совокупности тригонометрических неравенств. Те же приёмы применяются при исследовании функций, решении тригонометрических уравнений и задач математического анализа.

Что запомнить

• Решение удобно начинать с нахождения граничных углов.
• Синус и косинус принимают значения только из отрезка [−1; 1].
• Период синуса и косинуса равен 2π, а период тангенса и котангенса — π.
• Тангенс возрастает на каждом промежутке определения, а котангенс убывает.
• Точки разрыва тангенса и котангенса никогда не входят в ответ.
• При нестрогом неравенстве граничные точки включаются, если функция в них определена.
• После замены аргумента нужно обязательно решить полученное неравенство относительно x.