§ 37. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Арксинус числа x — угол y из отрезка [−π/2; π/2], для которого sin y = x; записывают y = arcsin x. Его область определения — [−1; 1], потому что синус не бывает больше 1 или меньше −1. Выбранный промежуток делает угол однозначным. Арксинус нужен, когда требуется восстановить угол по известному значению синуса.

Арккосинус числа x — угол y из отрезка [0; π], для которого cos y = x; обозначение — y = arccos x. Его область определения также [−1; 1], поскольку именно такие значения может принимать косинус. Промежуток [0; π] позволяет выбрать ровно один угол с заданным косинусом. Поэтому arccos помогает находить угол по значению косинуса.

Арктангенс числа x — угол y из интервала (−π/2; π/2), для которого tg y = x; пишут y = arctg x. Область определения — все действительные числа ℝ: на выбранном интервале тангенс принимает любое действительное значение. Интервал не включает точки, где тангенс не определён. Арктангенс используют, чтобы определить угол по его тангенсу.

Арккотангенс числа x — угол y из интервала (0; π), для которого ctg y = x; обозначение — y = arcctg x. Область определения — ℝ, так как котангенс на этом интервале принимает все действительные значения. Сам интервал выбран так, чтобы каждому значению котангенса соответствовал ровно один угол. Следовательно, arcctg восстанавливает угол по известному котангенсу.

Как это устроено

Обратная функция существует, если исходная функция не повторяет значения на выбранной области: каждому результату должен соответствовать только один аргумент. Синус, косинус, тангенс и котангенс на всей числовой прямой этому условию не отвечают, поскольку ведут себя периодически. Поэтому для построения обратных функций ограничивают исходные функции подходящими промежутками. Внутри каждого такого промежутка функция проходит каждое значение своей области значений один раз.

Для синуса выбирают [−π/2; π/2], где он непрерывно возрастает от −1 до 1. Для косинуса берут [0; π], где он убывает от 1 до −1. Оба промежутка охватывают все возможные значения исходных функций, то есть [−1; 1], и не содержат повторов. Поэтому любому допустимому x соответствует ровно одно значение arcsin x или arccos x.

Тангенс строго возрастает на (−π/2; π/2): при приближении к концам интервала его значения неограниченно убывают или возрастают. Котангенс строго убывает на (0; π) и также проходит все действительные значения. Значит, для любого числа x найдётся ровно один угол с тангенсом x и ровно один угол с котангенсом x. Так получают области определения arctg и arcctg, равные ℝ.

Из определения сразу следуют равенства sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x при x ∈ [−1; 1], а также tg(arctg x) = x и ctg(arcctg x) = x при x ∈ ℝ. В них сначала находят угол обратной функцией, а затем исходная функция возвращает число. При обратном порядке нужно проверять промежуток: например, arcsin(sin y) = y только при y ∈ [−π/2; π/2]. Если y вне промежутка, результатом будет другой угол из него.

График обратной функции получается отражением графика соответствующей исходной функции относительно прямой y = x, но отражают только выбранную ветвь. При отражении координаты каждой точки меняются местами, поэтому области определения и значений тоже меняются местами. Например, у arcsin область определения [−1; 1], а множество значений [−π/2; π/2]. На графиках arctg и arcctg видно, что их значения остаются в заданных интервалах даже при любых действительных x.

Обратные тригонометрические функции

Сначала проверьте, входит ли число в область определения выбранной функции, а затем найдите соответствующий угол в её множестве значений. Строки о монотонности и предельных значениях помогают оценить знак и величину ответа. Таблица также показывает, почему обратные композиции нельзя упрощать без проверки промежутка угла.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить arcsin(1/2), arccos(−1) и arctg(1). Ищем углы не среди всех возможных, а только в промежутках, заданных определениями. Для проверки подставим найденные углы в исходные тригонометрические функции. Так мы исключим углы, которые дают то же значение, но не входят в нужный промежуток.

1. Для arcsin(1/2) нужен угол из [−π/2; π/2] с синусом 1/2. Такой угол — π/6, поскольку sin(π/6) = 1/2.
2. Для arccos(−1) выбираем угол из [0; π], косинус которого равен −1. Это π, так как cos π = −1.
3. Для arctg(1) ищем угол из (−π/2; π/2) с тангенсом 1. Подходит π/4: tg(π/4) = 1.

Все найденные углы принадлежат требуемым промежуткам, значит, каждый ответ единственный. Ответ: arcsin(1/2) = π/6, arccos(−1) = π, arctg(1) = π/4.

Задача 2. Упростить cos(arcsin(3/5)). Обозначим угол α = arcsin(3/5), тогда sin α = 3/5 и α ∈ [−π/2; π/2]. Из основного тригонометрического тождества cos² α + sin² α = 1 найдём квадрат косинуса. Затем учтём знак косинуса на промежутке, где лежит α: без этого шага можно ошибочно выбрать отрицательный корень.

1. Подставим sin α = 3/5: cos² α = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Значит, cos α равен 4/5 или −4/5. На [−π/2; π/2] косинус неотрицателен, поэтому выбираем cos α = 4/5.
3. Так как α = arcsin(3/5), получаем cos(arcsin(3/5)) = cos α = 4/5.

Знак выбран по промежутку значений арксинуса, а не только по извлечению квадратного корня. Ответ: 4/5.

Задача 3. Решить уравнение arcsin(2x − 1) = arccos x. Сначала выясним, при каких x определены обе части, иначе преобразования могут привести к недопустимому корню. Затем применим синус к обеим сторонам равенства. После решения полученное значение нужно проверить в исходном уравнении, поскольку область определения и промежутки значений обратных функций ограничивают возможные ответы.

1. Для arcsin требуется −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1, откуда 0 ≤ x ≤ 1. Для arccos требуется −1 ≤ x ≤ 1. Совместная область определения — [0; 1].
2. Пусть равные углы обозначены α. Тогда sin α = 2x − 1. С другой стороны, α = arccos x принадлежит [0; π], поэтому sin α = √(1 − x²), где корень неотрицателен.
3. Получаем √(1 − x²) = 2x − 1. Левая часть неотрицательна, значит, дополнительно x ≥ 1/2. Возводим в квадрат: 1 − x² = (2x − 1)², откуда 5x² − 4x = 0 и x = 0 или x = 4/5.
4. Условию x ≥ 1/2 удовлетворяет только 4/5. Проверка: arcsin(3/5) = arccos(4/5), поскольку оба угла лежат в [0; π/2] и имеют соответственно синус 3/5 и косинус 4/5.

Значение x = 0 не подходит исходному уравнению и исключается при проверке. Ответ: x = 4/5.

Типичные ошибки

Ошибка: выбирать для arcsin или arccos любой угол с подходящим синусом или косинусом, либо записывать ответ в градусах без учёта принятой меры. Причина в том, что тригонометрические функции периодичны, и одинаковое значение имеют разные углы. Проверяйте, принадлежит ли ответ промежутку значений функции; в формулах обычно используют радианы.

Ошибка: считать arcsin x величиной 1/sin x или arctg x величиной 1/tg x. Здесь путают обратную функцию с обратной величиной: обратная функция возвращает угол, а обратная величина — число. Для самопроверки примените исходную функцию: sin(arcsin x) = x, а 1/sin x такого свойства не имеет.

Ошибка: утверждать, что arccos(cos x) = x при любом x. Косинус повторяет значения, а arccos возвращает только угол из [0; π], поэтому исходный угол может не восстановиться. Например, при x = −π/3 значение выражения равно π/3. Перед упрощением проверьте, лежит ли x в [0; π].

Ошибка: не проверять допустимость аргумента в arcsin или arccos. Например, arcsin 2 не определён, поскольку синус не может быть равен 2. Перед вычислением наложите условие −1 ≤ аргумент ≤ 1; при решении уравнения это условие помогает отсеять лишние корни.

Связь с другими темами

Для изучения обратных тригонометрических функций нужны сведения об областях определения и значений, монотонности и графиках sin x, cos x, tg x и ctg x. Монотонность объясняет, почему на выбранном промежутке у каждого значения есть только один прообраз. Также понадобится радианная мера угла: именно в радианах записаны границы промежутков и основные значения функций.

Обратные функции помогают находить углы при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также упрощать выражения. Позднее они используются при изучении производных сложных функций: сначала применяют правила дифференцирования обратных тригонометрических функций, затем — правила для составных выражений. Во всех этих задачах важно учитывать область определения и выбранный промежуток значений.

Что запомнить

• arcsin x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения из [−π/2; π/2].
• arccos x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения из [0; π].
• arctg x определён при любом x ∈ ℝ и принимает значения из (−π/2; π/2).
• arcctg x определён при любом x ∈ ℝ и принимает значения из (0; π).
• sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x при x ∈ [−1; 1].
• tg(arctg x) = x и ctg(arcctg x) = x при x ∈ ℝ.
• Обратные функции восстанавливают аргумент исходной функции только с учётом выбранного промежутка.