§ 36. Тригонометрические функции и их свойства

Определения и обозначения

Синус числа x — ордината, то есть вторая координата, точки единичной окружности, соответствующей углу x; обозначается sin x. Он показывает, насколько высоко или низко находится точка относительно оси абсцисс, поэтому по синусу удобно определять вертикальную координату и знак функции.

Косинус числа x — абсцисса, то есть первая координата, точки единичной окружности; обозначается cos x. Косинус показывает положение точки справа или слева от начала координат и помогает находить горизонтальную координату.

Тангенс числа x — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. Поэтому тангенс существует не для всех чисел и связывает две координаты точки в одно отношение, что особенно полезно при изучении наклона и графиков.

Котангенс числа x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0. Это обратное по структуре отношение к тангенсу, поэтому оно также имеет исключённые значения и собственные нули.

Как это устроено

Числу x можно сопоставить поворот радиуса единичной окружности на угол x. Конечная точка радиуса имеет координаты (cos x; sin x), поэтому синус и косинус определяются движением одной и той же точки. После поворота на полный оборот 2π точка возвращается туда же, и значения обеих функций повторяются: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x.

Тангенс и котангенс строятся из уже определённых координат. Если cos x = 0, дробь sin x / cos x не имеет смысла, поэтому из области определения тангенса исключаются x = π/2 + πk. Если sin x = 0, нельзя вычислить cos x / sin x, и для котангенса исключаются x = πk, где k ∈ Z.

При добавлении π точка единичной окружности переходит в противоположную: обе её координаты меняют знак. Поэтому sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x, но в отношении знаки сокращаются: tg(x + π) = tg x. По той же причине ctg(x + π) = ctg x, так что периоды тангенса и котангенса равны π, а не 2π.

Симметрия окружности относительно оси абсцисс сохраняет абсциссу и меняет знак ординаты. Отсюда cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x; отношения дают tg(−x) = −tg x и ctg(−x) = −ctg x. Нули функций появляются там, где соответствующая координата равна нулю, максимумы и минимумы синуса с косинусом — там, где координата достигает 1 или −1. На графиках тангенса и котангенса разрывы возникают именно в исключённых точках области определения.

Основные свойства тригонометрических функций

Таблица позволяет быстро сравнить функции по одному признаку. При исследовании конкретного выражения сначала проверяйте область определения, затем период и преобразования аргумента; после этого используйте нули, монотонность и значения для построения графика.

Разбор задач

Задача 1. Найдём sin x и cos x при x = 5π/6. Сначала определим четверть и опорный угол, а затем учтём знаки координат точки.

1. Угол 5π/6 лежит во второй четверти, потому что π/2 < 5π/6 < π.
2. Опорный угол равен π − 5π/6 = π/6.
3. Для π/6 известны значения sin π/6 = ½ и cos π/6 = √3/2. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Ответ: sin 5π/6 = ½, cos 5π/6 = −√3/2. Проверка по окружности подтверждает: точка находится выше оси абсцисс и левее оси ординат.

Задача 2. Найдём область определения и период функции y = tg(2x − π/3). Аргумент тангенса должен быть определён, а коэффициент 2 изменяет длину периода.

1. Исключаем значения, при которых cos(2x − π/3) = 0: 2x − π/3 = π/2 + πk.
2. Отсюда 2x = 5π/6 + πk, поэтому x = 5π/12 + πk/2. Эти точки не входят в область определения.
3. У тангенса период π. Для аргумента 2x − π/3 период равен π/2, так как π делится на коэффициент при x.

Ответ: D(y) = R без точек x = 5π/12 + πk/2, k ∈ Z; T = π/2.

Задача 3. Исследуем y = 2cos(x − π/4) + 1. Коэффициент 2 растягивает значения косинуса, число 1 сдвигает график вверх, а π/4 задаёт сдвиг вправо.

1. Так как −1 ≤ cos(x − π/4) ≤ 1, получаем −2 ≤ 2cos(x − π/4) ≤ 2. После прибавления 1: −1 ≤ y ≤ 3.
2. Коэффициент при x равен 1, поэтому период остаётся 2π.
3. Нули: 2cos(x − π/4) + 1 = 0, значит cos(x − π/4) = −½. Тогда x − π/4 = 2π/3 + 2πk или 4π/3 + 2πk.
4. Косинус возрастает на [π + 2πk; 2π + 2πk]. После сдвига вправо на π/4 функция возрастает на [5π/4 + 2πk; 9π/4 + 2πk].

Ответ: область значений [−1; 3], период 2π; нули x = 11π/12 + 2πk и x = 19π/12 + 2πk; функция возрастает на [5π/4 + 2πk; 9π/4 + 2πk].

Типичные ошибки

Ошибка: указывать для tg x или ctg x всю числовую прямую. Её допускают, когда забывают проверить знаменатель дроби. Для самопроверки выпишите условие cos x ≠ 0 для тангенса и sin x ≠ 0 для котангенса.

Ошибка: считать период синуса или косинуса равным π. При сдвиге на π обе функции меняют знак, поэтому прежнее значение возвращается только через 2π. Проверьте это на примере sin 0 и sin π.

Ошибка: приписывать тангенсу и котангенсу период 2π. У этих функций значения повторяются уже после поворота на π, поскольку числитель и знаменатель одновременно меняют знак. Используйте формулы tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x.

Ошибка: путать чётность функций. Косинус чётный, а синус, тангенс и котангенс нечётные. Проверить ответ можно заменой x на −x и сравнением результата с исходным выражением.

Связь с другими темами

Для изучения функций нужны координаты точки на единичной окружности, радианная мера угла и значения тригонометрических функций для основных углов. Эти свойства затем применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, где особенно важны нули, периоды и знаки.

Тема связана с преобразованиями графиков: сдвиги, растяжения и сжатия меняют положение кривой и её период. В дальнейшем свойства тригонометрических функций используются при изучении их производных и исследовании более сложных функций.

Что запомнить

• sin x и cos x определены при всех действительных x.
• Значения sin x и cos x лежат в отрезке [−1; 1].
• Периоды sin x и cos x равны 2π.
• Периоды tg x и ctg x равны π.
• cos x — чётная функция; sin x, tg x и ctg x — нечётные.
• tg x не определён при x = π/2 + πk, а ctg x — при x = πk, где k — целое число.