§ 35. Тригонометрические формулы. Метод вспомогательного аргумента

Определения и обозначения

Формулы сложения — зависимости, выражающие синус и косинус суммы или разности двух углов через синусы и косинусы этих углов. Например, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Эти формулы нужны, чтобы раскрывать сложные аргументы и выводить другие тригонометрические тождества.

Формулы преобразования суммы и разности позволяют заменить сумму или разность синусов и косинусов произведением. Например, sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). Такая запись полезна, когда нужно упростить выражение или вычислить его значение.

Линейная комбинация синуса и косинуса — выражение вида a sin x + b cos x, где a и b — числа. Несмотря на два слагаемых, его можно представить как один синус или косинус с изменённым аргументом. Это упрощает поиск значений выражения и решение уравнений.

Метод вспомогательного аргумента — способ преобразовать линейную комбинацию синуса и косинуса, введя угол, определяемый отношением коэффициентов. Угол выбирают так, чтобы после применения формулы сложения появились исходные коэффициенты. Метод помогает увидеть амплитуду выражения и свести задачу к работе с одной тригонометрической функцией.

Как это устроено

Формулы двойного угла получаются из формул сложения, если положить α = β: например, sin 2α = 2 sin α cos α, а cos 2α = cos² α − sin² α. Формулы разности и суммы синусов и косинусов также выводятся из сложения: в них рассматривают углы α и β как среднее значение и половину разности. Поэтому сумму синусов можно преобразовать по правилу sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2), а разность — по правилу sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2). Для косинусов действуют аналогичные правила, но у разности появляется знак минус.

Чтобы объединить a sin x + b cos x, ищут представление в виде R sin(x + φ). Раскрытие суммы аргументов даёт R sin x cos φ + R cos x sin φ. Значит, коэффициенты при sin x и cos x должны быть соответственно R cos φ и R sin φ. Для выполнения этих условий нужно положить R cos φ = a и R sin φ = b.

Число R = √(a² + b²) называют амплитудой выражения. Возведём условия R cos φ = a и R sin φ = b в квадрат и сложим: R²(cos² φ + sin² φ) = a² + b². Поскольку cos² φ + sin² φ = 1, получается R² = a² + b²; берут неотрицательный корень, поэтому R = √(a² + b²).

При R > 0 вспомогательный аргумент выбирают так, чтобы cos φ = a/R и sin φ = b/R. Эти числа действительно могут быть косинусом и синусом одного угла: сумма их квадратов равна (a² + b²)/R² = 1. Знаки a и b помогают выбрать нужную четверть; при R = 0 оба коэффициента равны нулю и выражение тождественно равно нулю.

Подстановка выбранных значений в формулу сложения даёт R sin(x + φ) = R sin x cos φ + R cos x sin φ = a sin x + b cos x. Коэффициенты совпадают с исходными именно потому, что φ выбирали из равенств для них, а R — из условия sin² φ + cos² φ = 1. Синус принимает значения от −1 до 1, поэтому выражение принимает значения от −R до R. Это позволяет находить максимум и минимум, а в уравнении — заменить два слагаемых одним синусом и решить полученное простейшее уравнение.

Основные тригонометрические преобразования и метод вспомогательного аргумента

Сначала определите, какое действие нужно выполнить: раскрыть сумму аргументов, перейти от суммы функций к произведению или объединить линейную комбинацию. Затем подставьте выражение в подходящую строку и внимательно сохраните знаки. Для вспомогательного аргумента отдельно проверьте оба условия на sin φ и cos φ.

Разбор задач

Упростить выражение sin 75° + sin 15°

1. Здесь дана сумма синусов, поэтому удобно перейти к произведению. Используем формулу sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2).
2. Подставляем углы: sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30°. Средний угол равен 45°, а половина разности — 30°.
3. Подставляем табличные значения sin 45° = √2/2 и cos 30° = √3/2. Получаем 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2.

Ответ: √6/2. Преобразование в произведение помогло заменить два значения синуса на значения функций известных углов.

Представить 3 sin x + 4 cos x в виде 5 sin(x + φ) и найти наибольшее и наименьшее значения

1. Вычисляем амплитуду: R = √(3² + 4²) = 5. Поэтому ищем угол φ, для которого cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5.
2. Эти значения согласованы: (3/5)² + (4/5)² = 1. Оба положительны, значит, φ можно выбрать в первой четверти; точное значение угла здесь не обязательно.
3. Раскрываем синус суммы: 5 sin(x + φ) = 5 sin x cos φ + 5 cos x sin φ = 3 sin x + 4 cos x. Значит, исходное выражение действительно равно 5 sin(x + φ).
4. Синус не бывает больше 1 и меньше −1, а аргумент x + φ пробегает все действительные значения. Следовательно, выражение достигает и 5, и −5.

Ответ: 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + φ), где cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5; наибольшее значение — 5, наименьшее — −5.

Решить уравнение 3 sin x + 4 cos x = 2

1. Левую часть уже можно представить как 5 sin(x + φ), где cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5. Уравнение принимает вид 5 sin(x + φ) = 2.
2. Делим обе части на 5: sin(x + φ) = 2/5. Обозначим α = arcsin(2/5), тогда α лежит между −π/2 и π/2.
3. Для уравнения sin t = 2/5 все решения имеют вид t = α + 2πk или t = π − α + 2πk, где k ∈ Z. Здесь t = x + φ, поэтому из обеих ветвей вычитаем φ.

Ответ: x = arcsin(2/5) − φ + 2πk или x = π − arcsin(2/5) − φ + 2πk, k ∈ Z, где cos φ = 3/5 и sin φ = 4/5. Две ветви дают все решения уравнения на каждом периоде.

Типичные ошибки

Ошибка — взять амплитуду R = a + b вместо R = √(a² + b²). Так делают, пытаясь сложить коэффициенты напрямую, но при преобразовании коэффициенты выступают катетами, а R — гипотенузой. Проверка: возведите равенства R cos φ = a и R sin φ = b в квадрат и сложите; должно получиться R² = a² + b².

Ошибка — поменять местами условия для φ и записать sin φ = a/R, cos φ = b/R. Тогда при раскрытии R sin(x + φ) коэффициент при sin x окажется связан с cos φ, а при cos x — с sin φ, и исходное выражение не восстановится. Проверяйте соответствие: cos φ = a/R, sin φ = b/R.

Ошибки знаков в формулах суммы и разности возникают, если формулы заучены механически. Особенно легко забыть минус перед произведением синусов в cos α + cos β или cos α − cos β. Подстановка простых значений, например α = β, помогает проверить знак: разность одинаковых выражений должна обратиться в ноль.

После преобразования уравнения к виду sin(x + φ) = c иногда записывают лишь один ответ. Причина — забывают, что одному значению синуса обычно соответствуют две серии углов за период. Проверьте себя: запишите обе ветви общего решения с периодом 2π и только затем выразите x.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужны формулы сложения, табличные значения тригонометрических функций и свойства синуса и косинуса. Эти знания позволяют проверять знаки, находить углы и понимать, какие значения может принимать выражение.

Метод вспомогательного аргумента применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств, а также при поиске максимумов и минимумов функций. Замена двух слагаемых одним синусом часто превращает задачу в простое сравнение или стандартное уравнение.

В физике синус и косинус описывают гармонические колебания. Их линейная комбинация тоже сводится к колебанию одной амплитуды с изменённой фазой: амплитуде соответствует R, а фазовому сдвигу — вспомогательный угол.

Что запомнить

• sin(α ± β) и cos(α ± β) являются основой многих тригонометрических преобразований.
• Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением.
• Для выражения a sin x + b cos x амплитуда равна R = √(a² + b²).
• Линейную комбинацию можно представить в виде R sin(x + φ) или R cos(x − ψ).
• Угол выбирают так, чтобы его синус и косинус соответствовали нормированным коэффициентам.
• Наибольшее и наименьшее значения выражения a sin x + b cos x равны R и −R.
• При решении уравнений после преобразования нужно записывать общее решение.