§ 34. Тангенс, котангенс, арктангенс, арккотангенс

Определения и обозначения

Тангенсом числа x называют отношение синуса этого числа к его косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. Запись tg — сокращённое обозначение слова «тангенс». Функция определена при всех x, кроме x = π/2 + πk, где k — любое целое число: в этих точках знаменатель равен нулю.

Котангенс числа x — это отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0. Сокращённо его записывают ctg. Значения x = πk исключаются, потому что при них синус, стоящий в знаменателе, равен нулю.

Арктангенсом числа a называют число из интервала (−π/2; π/2), тангенс которого равен a; его обозначают arctg a. Например, arctg 1 = π/4. Указанный интервал нужен, чтобы выбрать один угол из бесконечного множества углов с одинаковым тангенсом.

Арккотангенс числа a — число из интервала (0; π), котангенс которого равен a; запись — arcctg a. Например, arcctg 0 = π/2. Выбор интервала также делает ответ единственным: каждому действительному a соответствует ровно один такой угол.

Как это устроено

Тангенс и котангенс строятся из уже известных синуса и косинуса, поэтому их значения определяются отношением этих функций. При делении знаменатель не может быть нулём: у тангенса это косинус, у котангенса — синус. Так возникают исключённые точки области определения, а не произвольные запреты.

Обе функции повторяются через π. Действительно, sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x, поэтому в отношении для тангенса два минуса сокращаются; то же происходит в отношении для котангенса. Значит, tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Это позволяет изучать поведение функций на одном промежутке длины π, а затем переносить результат на остальные.

Знаки тангенса и котангенса зависят от знаков синуса и косинуса: отношение положительно, если числитель и знаменатель одного знака, и отрицательно, если знаки разные. При приближении к точке, где знаменатель обращается в ноль, отношение неограниченно возрастает или убывает. Поэтому у tg x вертикальные асимптоты — прямые x = π/2 + πk, а у ctg x — x = πk. Между такими точками графики непрерывны.

Обратная функция должна сопоставлять каждому значению исходной функции только один аргумент. Но тангенс и котангенс периодичны, поэтому одному числу соответствуют бесконечно многие углы. Чтобы получить однозначный выбор, для arctg берут интервал (−π/2; π/2), а для arcctg — (0; π); на каждом из них соответствующая функция проходит через все действительные значения ровно один раз.

На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс возрастает, а котангенс убывает. Это связано с изменением отношения синуса и косинуса при движении по промежутку; смена знаков и поведение у его концов согласуются с направлением графика. Поэтому arctg возрастает, а arcctg убывает: обратная зависимость сохраняет направление убывания или возрастания исходной функции.

Свойства тангенса, котангенса и обратных функций

В таблице k ∈ Z, а R обозначает множество действительных чисел. Сначала проверяйте область определения: она показывает, при каких x формула имеет смысл. Монотонность и интервалы значений помогают выбирать нужный угол и отбирать решения уравнений.

Разбор задач

Область определения y = tg(2x − π/3)

Тангенс определён, когда его аргумент не равен π/2 + πk. Здесь аргументом служит выражение 2x − π/3, поэтому исключённые значения нужно найти для него, а затем решить условие относительно x.

1. Записываем ограничение: 2x − π/3 ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
2. Прибавляем π/3: 2x ≠ 5π/6 + πk.
3. Делим на 2: x ≠ 5π/12 + πk/2.

Значит, область определения — все действительные x, кроме указанных значений. Полезно подставить найденные исключения в аргумент: при x = 5π/12 + πk/2 он действительно равен π/2 + πk.

Вычислить arctg(−1) + arcctg(√3)

Каждую обратную функцию нужно вычислять с учётом её собственного промежутка значений. Ищем угол, тангенс которого равен −1, в интервале (−π/2; π/2), а затем угол с котангенсом √3 в интервале (0; π).

1. В выбранном промежутке tg(−π/4) = −1, значит, arctg(−1) = −π/4.
2. Так как ctg(π/6) = √3 и π/6 принадлежит (0; π), arcctg(√3) = π/6.
3. Складываем: −π/4 + π/6 = −3π/12 + 2π/12 = −π/12.

Ответ: −π/12. Проверка интервалов позволяет не спутать нужный угол с другими углами, у которых то же тригонометрическое отношение.

Решить tg x = √3 на промежутке [−π; 2π]

Сначала найдём одно значение x, затем учтём период тангенса. Поскольку tg(π/3) = √3 и π/3 лежит в промежутке значений арктангенса, получаем arctg(√3) = π/3.

1. Записываем общее решение: x = arctg(√3) + πk = π/3 + πk, k ∈ Z.
2. Отбираем целые k из условия −π ≤ π/3 + πk ≤ 2π.
3. Делим неравенство на π: −1 ≤ 1/3 + k ≤ 2, откуда −4/3 ≤ k ≤ 5/3.
4. Подходят целые k = −1, 0, 1. Подставляя их, получаем x = −2π/3, π/3, 4π/3.

Ответ: −2π/3, π/3, 4π/3. Проверяем, что каждый корень входит в заданный промежуток; соседние решения отличаются на π.

Типичные ошибки

Тангенсу иногда приписывают период 2π, потому что такой период есть у синуса и косинуса. Но при сдвиге на π оба меняют знак, и в их отношении знаки сокращаются; поэтому период тангенса равен π. Проверка простая: сравнить tg x и tg(x + π).

В область определения могут случайно включить x = π/2 + πk для тангенса или x = πk для котангенса. Эти точки выглядят как обычные углы, но в них знаменатель равен нулю. Проверяйте исходную дробь: cos x не должен обращаться в ноль для tg, а sin x — для ctg.

Запись arctg a иногда принимают за множество всех углов, для которых tg x = a. Путают обратную функцию с полным решением уравнения, потому что значения тангенса повторяются. Арктангенс даёт ровно одно число в (−π/2; π/2), а остальные решения получают добавлением πk; проверка — подставить ответ в выбранный интервал.

Для arcctg a могут ошибочно использовать интервал (−π/2; π/2), по аналогии с арктангенсом. Но это другой промежуток: по принятому определению арккотангенс принимает значения из (0; π). Чтобы проверить выбор, убедитесь, что угол принадлежит этому интервалу и его котангенс равен заданному числу.

Связь с другими темами

Для работы с тангенсом и котангенсом нужны определения синуса и косинуса, их значения на основных углах, знаки по четвертям и периодичность. Без этих знаний трудно устанавливать знак отношения и находить исключённые значения аргумента. Полезно сначала проверить, где равен нулю знаменатель.

Тангенс и котангенс применяют при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Арктангенс и арккотангенс помогают перейти от известного отношения к углу, например при решении уравнения или нахождении угла по данным задачи. Периодичность исходных функций объясняет, почему полное решение часто содержит целое число k.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x, если sin x ≠ 0.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• arctg a принимает значения из (−π/2; π/2).
• arcctg a принимает значения из (0; π).
• Тангенс возрастает, а котангенс убывает на каждом промежутке непрерывности.