§ 33. Синус, косинус, арксинус, арккосинус

Определения и обозначения

Синус числа x — ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x. Ордината — это координата по вертикальной оси, поэтому sin x всегда лежит в пределах [−1; 1]. Такое определение позволяет находить синус по окружности и связывать его со значениями координат.

Косинус числа x — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей углу x. Абсцисса — координата по горизонтальной оси, поэтому −1 ≤ cos x ≤ 1. Косинус помогает определять горизонтальную координату точки и вычислять углы по известным значениям.

Арксинус числа a — число из отрезка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Обозначают его arcsin a, причём −1 ≤ a ≤ 1. Указанный отрезок нужен, чтобы каждому допустимому значению соответствовал ровно один угол.

Арккосинус числа a — число из отрезка [0; π], косинус которого равен a. Обозначение — arccos a, а область допустимых аргументов также равна [−1; 1]. Выбранный промежуток делает результат однозначным и позволяет восстанавливать угол по его косинусу.

Как это устроено

Точка единичной окружности находится на расстоянии 1 от начала координат, поэтому её координаты удовлетворяют равенству X² + Y² = 1. Здесь X = cos x, а Y = sin x, значит, каждая из координат по модулю не превосходит 1. Геометрически это означает, что точка не может уйти правее 1, левее −1, выше 1 или ниже −1.

После поворота на полный круг точка возвращается в исходное положение, а полный круг в радианной мере равен 2π. Поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x, то есть обе функции периодичны с периодом 2π. Отражение точки относительно оси Ox меняет знак ординаты, а отражение относительно Oy не меняет абсциссу, поэтому sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x.

На всей числовой прямой синус и косинус не являются обратимыми функциями, потому что повторяются через 2π. Например, sin 0 = sin 2π, а cos 0 = cos 2π, хотя аргументы различны. Значит, по одному значению нельзя однозначно восстановить исходный угол без дополнительного ограничения.

На отрезке [−π/2; π/2] синус возрастает и каждое его значение встречается один раз, а на [0; π] косинус убывает и также принимает каждое значение только один раз. Поэтому ограничения превращают эти участки графиков в обратимые ветви и определяют главные значения arcsin и arccos. График обратной функции получается отражением графика исходной функции относительно прямой y = x.

Свойства синуса, косинуса, арксинуса и арккосинуса

В таблице собраны основные характеристики четырёх функций. Для обратных функций особенно важно различать область определения, то есть допустимые аргументы, и множество значений, то есть получаемые углы. При решении задач сначала проверяйте, к какой функции относится выражение и на каком промежутке указана её монотонность.

Разбор задач

Задача 1

Найдите sin(π/6), cos(π/3), arcsin(1/2) и arccos(1/2). Первые два значения читаются по единичной окружности. Для аркфункций нужно дополнительно проверить, какой угол попадает в установленный промежуток.

1. Угол π/6 имеет синус 1/2, поэтому sin(π/6) = 1/2.
2. Угол π/3 имеет косинус 1/2, поэтому cos(π/3) = 1/2.
3. Из углов от −π/2 до π/2 синус 1/2 имеет угол π/6, значит arcsin(1/2) = π/6.
4. На отрезке [0; π] косинус 1/2 принимает значение при угле π/3, значит arccos(1/2) = π/3.

Ответ: 1/2; 1/2; π/6; π/3.

Задача 2

Решите уравнения arcsin x = −π/4 и arccos x = 2π/3. В обоих случаях неизвестное находится внутри обратной функции. Используем определение: результат арксинуса или арккосинуса — это угол, синус или косинус которого равен аргументу.

1. Из arcsin x = −π/4 следует x = sin(−π/4). Синус отрицательного угла противоположен синусу положительного, поэтому x = −√2/2.
2. Из arccos x = 2π/3 следует x = cos(2π/3). Косинус этого угла равен −1/2, поэтому x = −1/2.

Ответ: в первом уравнении x = −√2/2, во втором x = −1/2.

Задача 3

Вычислите sin(arccos(−3/5)) и cos(arcsin(4/5)). Обозначим угол, заданный аркфункцией, буквой α и применим тождество sin² α + cos² α = 1. Знак второй координаты определим по промежутку, из которого выбирается значение аркфункции.

1. Пусть α = arccos(−3/5). Тогда cos α = −3/5 и α ∈ [0; π], где синус неотрицателен. Поэтому sin α = √(1 − 9/25) = 4/5.
2. Пусть β = arcsin(4/5). Тогда sin β = 4/5 и β ∈ [−π/2; π/2], где косинус неотрицателен. Поэтому cos β = √(1 − 16/25) = 3/5.

Ответ: 4/5; 3/5.

Типичные ошибки

Ошибка: считать arcsin x обратной величиной к sin x. Её допускают из-за похожей записи, но arcsin возвращает угол, а 1/sin x — число, обратное значению синуса. Проверка проста: если arcsin a = α, должно выполняться sin α = a.

Ошибка: указывать область определения arcsin и arccos как всю числовую прямую. Причина в том, что ученик переносит область определения синуса и косинуса на обратные функции. Перед вычислением проверьте: аргумент каждой аркфункции обязан принадлежать [−1; 1].

Ошибка: выбирать для arcsin угол вне [−π/2; π/2] или для arccos угол вне [0; π]. Так теряется однозначность главного значения. Проверьте ответ подстановкой и убедитесь, что угол лежит именно в нужном промежутке.

Ошибка: считать, что sin(arcsin x) и arcsin(sin x) всегда равны x. Первое равенство верно при |x| ≤ 1, а второе — только для x ∈ [−π/2; π/2]. Чтобы не ошибиться, определите, к какой функции применяется обратная операция первой.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны единичная окружность, радианная мера угла и значения синуса и косинуса основных углов. Без них трудно понять координатное определение и быстро вычислять простейшие значения.

Арксинус и арккосинус применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они позволяют находить угол, если известно значение его синуса или косинуса.

Дальше обратные тригонометрические функции используются при изучении преобразований графиков и математического анализа. Их свойства помогают исследовать функции и записывать результаты вычислений.

Что запомнить

• sin x и cos x определены при всех действительных x и принимают значения от −1 до 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x.
• Область определения arcsin x и arccos x — [−1; 1].
• Значения arcsin x принадлежат [−π/2; π/2], а значения arccos x — [0; π].
• sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x при −1 ≤ x ≤ 1.
• Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.