§ 38. Тригонометрические уравнения

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Например, sin x = ½ — тригонометрическое уравнение, а sin 1 = c — нет: в последнем равенстве тригонометрическая функция зависит только от известного числа. Это различие важно, потому что в первом случае нужно искать неизвестные значения x.

Корень уравнения — значение неизвестной, при подстановке которого уравнение становится верным. Например, x = π/6 — корень уравнения sin x = ½, так как sin(π/6) = ½. Проверка подстановкой помогает убедиться, что найденное число действительно подходит.

Общее решение — запись всех корней уравнения с помощью целого параметра, обычно обозначаемого k. Параметр позволяет учесть повторение значений тригонометрических функций через их периоды. Записать общее решение нужно, чтобы не потерять корни, отличающиеся на целое число периодов.

Область допустимых значений (ОДЗ) — множество значений неизвестной, при которых все выражения уравнения определены. Например, в уравнении с tg x нельзя брать x = π/2 + πk, а в дроби знаменатель не может быть равен нулю. Проверка ОДЗ до преобразований позволяет не использовать запрещённые значения.

Как это устроено

У тригонометрических функций есть периоды: при прибавлении периода их значения повторяются. Поэтому, если некоторый угол является корнем, то часто корнями будут и углы, полученные добавлением целого числа периодов. Именно из-за этого у уравнения обычно не один ответ, а бесконечное множество. Решение записывают формулой с k ∈ Z, чтобы охватить все такие значения.

Простейшие уравнения связывают функцию от x с числом a. Чтобы решить sin x = a или cos x = a, сначала проверяют, возможно ли такое значение: синус и косинус принимают значения только на отрезке [−1; 1]. Для нахождения угла используют обратные функции arcsin и arccos, но одного такого угла обычно недостаточно: на периоде синус и косинус принимают одно значение в нескольких точках. Для tg x = a и ctg x = a ограничение на a не требуется, так как эти функции могут принимать любое действительное значение.

После нахождения углов нужно добавить период функции. У синуса и косинуса период равен 2π, а у тангенса и котангенса — π. Синус и косинус могут принимать заданное значение в двух точках за период, поэтому в формулах общего решения учитываются обе возможности. У тангенса и котангенса на периоде достаточно одной ветви решения.

Сложные уравнения стараются привести к простейшим. Для этого применяют тождества, например sin²x + cos²x = 1, или раскладывают выражение на множители: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Если в уравнении повторяется одна и та же функция, удобно ввести новую переменную, например t = sin x. Так уравнение может превратиться в обычное квадратное, но полученные значения t всё равно должны быть возможны для синуса.

Преобразования могут изменить множество допустимых значений или добавить значения, которые не подходят исходному равенству. Поэтому после решения нужно сверить ответы с ОДЗ и подставить их в исходное уравнение либо проверить равносильность каждого шага. Это особенно существенно при умножении на выражение с неизвестной и при возведении обеих частей в квадрат: такие действия могут дать посторонние корни. Проверка завершает решение и отделяет подходящие значения от лишних.

Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения

Сначала проверь условие на a, затем выбери формулу для нужной функции. Здесь arcsin a и arccos a — значения обратных функций, arctg a — угол, тангенс которого равен a; arcctg a берут в интервале (0, π). Параметр k пробегает все целые числа и тем самым задаёт все корни.

Разбор задач

Решим уравнение sin x = ½. Синус равен ½ при двух углах на отрезке [0; 2π): π/6 и 5π/6. Так как период синуса равен 2π, к каждому из этих углов нужно прибавить любое целое число периодов.

1. Находим основные углы: arcsin(½) = π/6, второй угол на периоде — π − π/6 = 5π/6.
2. Записываем все корни с периодом: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z. Обе серии нужны, поскольку синус равен ½ в двух точках каждого периода. Например, формула только с arcsin a учла бы лишь первую серию корней.

Решим cos(2x − π/3) = −½. Неизвестная находится внутри аргумента косинуса, поэтому сначала удобно обозначить весь аргумент буквой y. Тогда мы решим простейшее уравнение относительно y, а затем вернёмся к x и решим линейные уравнения.

1. Пусть y = 2x − π/3. Для cos y = −½ получаем y = 2π/3 + 2πk или y = 4π/3 + 2πk, k ∈ Z.
2. Подставляем выражение для y. Из 2x − π/3 = 2π/3 + 2πk следует 2x = π + 2πk, значит, x = π/2 + πk.
3. Из 2x − π/3 = 4π/3 + 2πk следует 2x = 5π/3 + 2πk, значит, x = 5π/6 + πk.

Ответ: x = π/2 + πk или x = 5π/6 + πk, k ∈ Z. При переходе к x период в записи изменился из-за коэффициента 2 при x: уравнение 2x = … нужно разделить на два. Проверка подстановкой показывает, что аргументы косинуса в обоих случаях дают значение −½.

Решим уравнение 2sin²x − 3sin x + 1 = 0. В выражении повторяется sin x, поэтому замена t = sin x превращает уравнение в квадратное. После решения важно исключить невозможные значения t и отдельно решить тригонометрические уравнения, которые останутся.

1. Вводим t = sin x: 2t² − 3t + 1 = 0. Разложение на множители даёт (2t − 1)(t − 1) = 0, откуда t = ½ или t = 1.
2. Оба значения допустимы, потому что синус может принимать значения от −1 до 1. Значит, нужно решить sin x = ½ и sin x = 1.
3. Из первого уравнения получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk. Из второго: x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.

Ответ: x = π/6 + 2πk, x = 5π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k ∈ Z. Корни всех трёх серий удовлетворяют исходному уравнению, поскольку при подстановке синуса дают t = ½ или t = 1. Если бы квадратное уравнение дало t вне отрезка [−1; 1], такую ветвь пришлось бы отбросить.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать только одно значение угла и забыть о других углах на периоде и периодическом параметре. Так теряется бесконечно много корней, хотя найденное значение само по себе может быть верным. Ошибка возникает, когда обратную функцию принимают за полное решение уравнения. Проверь себя: выпиши все подходящие углы на одном периоде и добавь период с k ∈ Z.

Вторая ошибка — применять формулы для sin x = a или cos x = a, не проверив, что |a| ≤ 1. При |a| > 1 таких углов нет, потому что значения синуса и косинуса ограничены. Перед поиском углов сравни правую часть с отрезком [−1; 1]; если она вне его, сразу укажи, что действительных корней нет.

Третья ошибка — перепутать периоды: взять 2π для тангенса или котангенса либо π для синуса и косинуса. Причина обычно в том, что периодичность всех функций запоминают одной формулой. Проверка простая: у tg x и ctg x период π, у sin x и cos x — 2π; подстановка прибавленного периода должна сохранять значение функции.

Четвёртая ошибка — не проверить ограничения после замены переменной или преобразований и оставить посторонние корни. Например, значение t = 2 не может равняться sin x, а умножение на выражение, которое может быть нулём, требует отдельного внимания. Сверь полученные значения с ОДЗ и проверь кандидатов в исходном уравнении, а не только в преобразованном.

Связь с другими темами

Для решения уравнений нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса основных углов, знание периодов и областей определения функций. Полезно также владеть основными тригонометрическими тождествами: они позволяют заменить одну функцию другой или упростить выражение. После освоения уравнений можно переходить к тригонометрическим неравенствам, где требуется найти целые промежутки значений, а не отдельные корни. Тригонометрические уравнения встречаются и при исследовании функций и в задачах математического анализа.

Что запомнить

• Решение уравнения — множество всех его корней.
• Для sin x = a и cos x = a необходимо условие |a| ≤ 1.
• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Общее решение должно учитывать все углы, удовлетворяющие уравнению, и период функции.
• Проверяй область допустимых значений и корни в исходном уравнении.