3.4. Примеры использования обратных тригонометрических функций

Определения и обозначения

Арксинус числа a, обозначаемый arcsin a, — угол из промежутка [−π/2; π/2], синус которого равен a. Он определён только при |a| ≤ 1, потому что синус не бывает больше 1 или меньше −1. Арксинус нужен, когда известно значение синуса и требуется однозначно выбрать соответствующий угол.

Арккосинус числа a, обозначаемый arccos a, — угол из [0; π], косинус которого равен a. Область определения также задаётся условием |a| ≤ 1, поскольку значения косинуса лежат от −1 до 1. Промежуток [0; π] позволяет выбрать ровно один угол для каждого допустимого значения косинуса.

Арктангенс числа a, или arctg a, — угол из (−π/2; π/2), тангенс которого равен a. Тангенс на этом промежутке принимает любые действительные значения, поэтому арктангенс определён при любом a. Он помогает найти угол, если известно отношение синуса к косинусу.

Арккотангенс числа a, или arcctg a, — угол из (0; π), котангенс которого равен a. Его область определения — все действительные числа: на выбранном промежутке котангенс принимает каждое такое значение ровно один раз. Это соглашение фиксирует главное значение угла и не даёт неоднозначности.

Как это устроено

Синус, косинус, тангенс и котангенс связывают угол с числом, а обратные функции выполняют обратную задачу: по числу находят угол. Однако синус, например, повторяет свои значения на разных углах из-за периодичности, поэтому нельзя просто «отменить» синус для любого x. Чтобы получить функцию с единственным ответом, выбирают промежуток, на котором исходная функция принимает каждое допустимое значение только один раз.

При выборе обратной функции сначала смотрят, какая тригонометрическая величина известна, а затем проверяют допустимость аргумента и промежуток главного значения. Например, если sin α = 1/2 и требуется найти α как значение арксинуса, то α = arcsin(1/2) = π/6: это угол из [−π/2; π/2]. Уравнение sin x = 1/2, напротив, имеет и другие корни, потому что в нём x не ограничен промежутком арксинуса.

В выражениях sin(arccos a), cos(arctg a) или tg(arcsin a) удобно ввести вспомогательный угол. Например, если α = arccos a, то cos α = a, а sin² α + cos² α = 1, откуда sin α = √(1 − a²); знак положительный, поскольку α ∈ [0; π] и синус там неотрицателен. Аналогично для α = arctg a имеем tg α = a, а из тождества получаем cos² α = 1/(1 + a²). Так как α ∈ (−π/2; π/2), косинус положителен, поэтому cos(arctg a) = 1/√(1 + a²).

Если аргумент обратной функции связан со стандартным тригонометрическим значением, сначала можно распознать это значение, а затем подобрать угол в нужном промежутке. Например, arcsin(sin 5π/6) не равно 5π/6: арксинус должен вернуть угол из [−π/2; π/2], а значение синуса равно 1/2. Поэтому arcsin(sin 5π/6) = π/6. Проверка промежутка помогает не перепутать главное значение с исходным углом.

При решении простейшего уравнения обратная функция находит один основной угол, а все решения получают с учётом периодичности. Для sin x = a при |a| ≤ 1 записывают x = arcsin a + 2πk или x = π − arcsin a + 2πk, где k ∈ Z. Для cos x = a используют x = ± arccos a + 2πk, а для tg x = a — x = arctg a + πk. Если задан промежуток, из полученных серий оставляют только попадающие в него значения.

Основные обратные тригонометрические функции

Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте, входит ли число в область определения нужной функции. Затем учитывайте множество значений: оно показывает, какой именно угол будет выбран. Обозначение R означает множество всех действительных чисел.

Разбор задач

Вычислить arcsin(1/2), arccos(−1/2), arctg(1) и arcctg(√3).

Для каждой функции подбираем угол, чьё тригонометрическое значение совпадает с аргументом. Недостаточно вспомнить знакомый угол: он должен принадлежать промежутку значений именно этой обратной функции. Это условие и обеспечивает единственность ответа.

1. Синус π/6 равен 1/2, а π/6 принадлежит [−π/2; π/2]. Поэтому arcsin(1/2) = π/6.

2. Косинус 2π/3 равен −1/2, и 2π/3 лежит в [0; π]. Значит, arccos(−1/2) = 2π/3.

3. Тангенс π/4 равен 1, причём π/4 находится в (−π/2; π/2). Следовательно, arctg(1) = π/4.

4. Котангенс π/6 равен √3, а π/6 входит в (0; π). Поэтому arcctg(√3) = π/6.

Ответ: π/6; 2π/3; π/4; π/6.

Найти значение выражения cos(arctg 3).

Не нужно сначала вычислять угол arctg 3 в радианах: такого стандартного значения может не быть. Достаточно использовать то, что известно о тангенсе этого угла, и основное тригонометрическое тождество. Важно также определить знак косинуса по промежутку, в котором лежит угол.

1. Обозначим α = arctg 3. По определению arctg имеем tg α = 3, а угол α лежит в (−π/2; π/2).

2. Из тождества sin² α + cos² α = 1 и равенства tg α = sin α/cos α следует cos² α = 1/(1 + tg² α). Подставляем tg α = 3: cos² α = 1/10.

3. Так как α находится в промежутке, где косинус положителен, берём положительный корень: cos α = 1/√10.

Ответ: cos(arctg 3) = 1/√10.

Решить уравнение sin x = −√3/2 на промежутке [−π; 2π].

Сначала находим главное значение арксинуса, затем строим обе серии корней уравнения синуса. Это необходимо, потому что один и тот же синус встречается у разных углов. В последнем шаге проверяем, какие значения попали в заданный промежуток.

1. Так как sin(−π/3) = −√3/2 и −π/3 лежит в [−π/2; π/2], получаем arcsin(−√3/2) = −π/3.

2. Записываем обе серии: x = −π/3 + 2πk или x = π − (−π/3) + 2πk = 4π/3 + 2πk, где k ∈ Z.

3. Из первой серии в [−π; 2π] попадают −π/3 и 5π/3. Из второй серии попадают −2π/3 и 4π/3.

Ответ: x ∈ {−2π/3; −π/3; 4π/3; 5π/3}.

Типичные ошибки

Считать arcsin a углом из любого промежутка — значит забывать, что арксинус всегда выбирает значение из [−π/2; π/2]. Такую ошибку провоцирует привычка искать любой угол с нужным синусом. Проверьте ответ: он обязан попасть в промежуток значений функции.

Равенство arcsin(sin x) = x верно не для всех x, а только когда x принадлежит [−π/2; π/2]. Ошибка возникает, если воспринимать арксинус как простую операцию, отменяющую синус без ограничений. Для проверки сначала найдите значение синуса, а потом выберите соответствующий угол в промежутке арксинуса.

Нельзя применять arcsin или arccos к числу за пределами [−1; 1] в действительных числах. Обычно забывают об ограниченности синуса и косинуса и начинают вычисления, не проверив аргумент. Перед решением сравните его с границами −1 и 1; если они нарушены, функция не определена.

Записывая для sin x = a только x = arcsin a, получают лишь одно главное значение, а не все корни уравнения. Остальные решения теряются из-за периодичности и симметрии синуса. Для проверки запишите обе серии решений и подставьте их в исходное уравнение.

Связь с другими темами

Для работы с обратными функциями нужны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса стандартных углов, а также знание их областей определения. Основное тригонометрическое тождество помогает вычислять выражения с обратными функциями без нахождения угла. Периодичность тригонометрических функций необходима, чтобы перечислить все корни уравнения, а не только главное значение. Эти приёмы применяются при преобразовании выражений и решении тригонометрических уравнений; позже обратные функции встречаются и при изучении производных сложных функций.

Что запомнить

• arcsin a определён при |a| ≤ 1 и принимает значения из [−π/2; π/2].

• arccos a определён при |a| ≤ 1 и принимает значения из [0; π].

• arctg a определён при любом a и принимает значения из (−π/2; π/2).

• arcctg a определён при любом a и принимает значения из (0; π).

• Обратная тригонометрическая функция выбирает единственное главное значение угла.

• Решение тригонометрического уравнения обычно включает все углы, а не только главное значение обратной функции.