1.10. Графики тригонометрических функций

Определения и обозначения

График синуса — множество точек с координатами (x; sin x). Каждому аргументу x соответствует одно значение синуса, поэтому график проходит через точки (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1). Эти точки задают основную форму волны и помогают быстро построить её на любом периоде.

График косинуса задаётся точками (x; cos x). Волна начинается с максимума: cos 0 = 1, затем проходит через нуль при x = π/2, достигает минимума при x = π и снова возвращается к максимуму при x = 2π. По этим значениям легко определить положение вершин, впадин и пересечений с осью Ox.

График тангенса — график функции y = tg x = sin x / cos x. Он состоит из отдельных возрастающих ветвей, потому что при cos x = 0 функция не определена; прямые x = π/2 + πk являются её вертикальными асимптотами. Асимптота — это прямая, к которой график приближается, но не пересекает её в точке определения.

График котангенса задаётся формулой y = ctg x = cos x / sin x. Его ветви расположены между прямыми x = πk, где знаменатель обращается в нуль, и на каждой такой полосе идут сверху вниз. Нули котангенса совпадают с нулями косинуса, поэтому они находятся посередине между соседними асимптотами.

Как это устроено

Периодичность синуса и косинуса связана с движением точки по единичной окружности. Координаты точки равны соответственно cos x и sin x, а увеличение угла на 2π означает полный оборот. Точка возвращается в исходное положение, поэтому обе координаты повторяют значения: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Именно поэтому достаточно построить один период, а затем повторить его вправо и влево.

Для построения синуса и косинуса используют значения в ключевых точках, где аргумент кратен π/2. Между ними график проводят плавно, поскольку значения функции изменяются непрерывно. У синуса последовательность начинается с нуля, у косинуса — с единицы. Равенство cos x = sin(x + π/2) показывает, что косинус получается сдвигом графика синуса влево на π/2.

Симметрия графиков следует из свойств функций. Равенство cos(−x) = cos x означает, что точки косинуса с противоположными аргументами имеют одинаковые ординаты; поэтому его график симметричен относительно оси Oy. Для синуса выполняется sin(−x) = −sin x: при смене знака аргумента меняется знак ординаты, что даёт симметрию относительно начала координат.

Тангенс является отношением синуса к косинусу. В точках, где sin x = 0, его значение равно нулю, а при cos x = 0 деление невозможно, поэтому появляются вертикальные асимптоты. При добавлении π обе величины меняют знак, и их отношение не меняется: tg(x + π) = tg x. Так возникает период π, меньший, чем у синуса и косинуса.

Котангенс — отношение косинуса к синусу, поэтому условия для нулей и разрывов меняются местами. При sin x = 0 знаменатель равен нулю и возникают асимптоты, а при cos x = 0 числитель равен нулю. На каждом промежутке между соседними асимптотами котангенс убывает: при движении слева направо его значения проходят от очень больших положительных к очень большим отрицательным. Прибавление π одновременно меняет знаки числителя и знаменателя, поэтому график повторяется через π.

Свойства и характерные особенности графиков тригонометрических функций

В таблице k ∈ Z, то есть k может быть любым целым числом. Для построения сначала найдите область определения, период, нули и асимптоты, а затем определите направление ветвей или волн. Формулы промежутков позволяют проверить готовый рисунок и не перепутать свойства разных функций.

Разбор задач

Задача 1. Построить график y = sin x на промежутке [−2π; 2π], отметив ключевые точки.

Нужно изобразить два полных периода синуса и сохранить правильную форму волны. Удобнее начать с точек, где аргумент кратен π/2.

1. Используем период 2π и значения sin x: 0, 1, 0, −1, 0 в точках, разделённых на π/2.
2. На промежутке получаем точки (−2π; 0), (−3π/2; 1), (−π; 0), (−π/2; −1), (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), (2π; 0).
3. Соединяем соседние точки плавной линией, не проводя отрезки и не меняя порядок максимумов и минимумов.

Ответ: график проходит через перечисленные точки, имеет период 2π и повторяет одну и ту же волну на отрезках длины 2π.

Задача 2. Построить график y = cos x и объяснить его связь с графиком y = sin x.

Косинус можно строить отдельно по ключевым значениям или получить уже известный график сдвигом. Второй способ быстрее и одновременно объясняет связь функций.

1. Используем формулу cos x = sin(x + π/2), поэтому график синуса сдвигаем влево на π/2.
2. Проверяем характерные точки: cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, cos π = −1, cos(3π/2) = 0, cos 2π = 1.
3. Плавно соединяем точки и повторяем полученную волну через 2π. Максимумы находятся при x = 2πk, минимумы — при x = π + 2πk.

Ответ: график косинуса — это график синуса, сдвинутый влево на π/2; его начальная точка имеет координаты (0; 1).

Задача 3. Построить график y = tg x на промежутке [−π; π] и указать его нули и асимптоты.

Для тангенса сначала отдельно отмечают запрещённые значения и нули. Только после этого строят ветви на промежутках, чтобы случайно не соединить части графика через асимптоту.

1. Из cos x = 0 получаем асимптоты x = −π/2 и x = π/2 внутри заданного отрезка.
2. Из sin x = 0 получаем нули x = −π, 0 и π. Концы отрезка являются точками графика, поскольку косинус там не равен нулю.
3. На каждом промежутке (−π/2; π/2) и соседних частях области определения рисуем возрастающую ветвь, проходящую через соответствующий нуль; затем используем период π.

Ответ: вертикальные асимптоты: x = −π/2, x = π/2; нули: x = −π, 0, π. Ветви возрастают и не пересекают асимптоты.

Типичные ошибки

Период тангенса принимают за 2π. Так происходит из-за механического переноса свойства синуса и косинуса. Проверьте отношение: при сдвиге на π оба знака меняются, поэтому tg(x + π) = tg x.

Точки разрыва считают нулями. В точке, где знаменатель равен нулю, функция не принимает значение, даже если рядом график пересекает ось. Для проверки подставьте аргумент в знаменатель и убедитесь, что он не равен нулю.

Путают асимптоты тангенса и котангенса. У тангенса запрещены нули косинуса, у котангенса — нули синуса. Запишите функцию как дробь и сначала найдите нули её знаменателя.

Соединяют ветви через асимптоту. Асимптота разделяет область определения, поэтому линия по разные стороны от неё принадлежит разным ветвям. Оставляйте разрыв и проверяйте, к какой прямой стремится график.

Связь с другими темами

Для построения нужны единичная окружность, значения синуса и косинуса основных углов, а также формулы tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x. Периоды, нули и асимптоты помогают решать тригонометрические уравнения и неравенства. Эти знания переносятся на функции y = a sin(bx + c) и y = a tg(bx + c), где появляются растяжения, сжатия и сдвиги графика.

Что запомнить

• Период синуса и косинуса равен 2π.
• Период тангенса и котангенса равен π.
• Значения синуса и косинуса лежат от −1 до 1.
• Нули тангенса совпадают с нулями синуса, а его асимптоты — с нулями косинуса.
• Нули котангенса совпадают с нулями косинуса, а его асимптоты — с нулями синуса.
• На промежутках между соседними асимптотами тангенс возрастает, а котангенс убывает.