15. Тангенс и котангенс любого угла

Определения и обозначения

Тангенс угла α обозначают tg α и определяют отношением синуса к косинусу: tg α = sin α/cos α при cos α ≠ 0. Условие нужно потому, что делить на ноль нельзя. Тангенс показывает, во сколько раз синус данного угла отличается от его косинуса.

Котангенс угла α обозначают ctg α и определяют формулой ctg α = cos α/sin α при sin α ≠ 0. Если синус равен нулю, выражение не имеет смысла. Котангенс удобен как обратное отношение к тангенсу.

Функция тангенса — это зависимость значения tg x от угла x, а функция котангенса — зависимость значения ctg x от x. Аргументом служит угол, обычно выраженный в радианах. Такие функции позволяют изучать изменение тригонометрических отношений при повороте точки.

Если обе величины определены, то ctg x = 1/tg x, или tg x · ctg x = 1. Это взаимно обратная связь, но пользоваться ею можно только там, где не возникает деления на ноль. Она помогает быстро переходить от одного отношения к другому.

Как это устроено

Пусть точка единичной окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α). Тогда отношение второй координаты к первой равно sin α/cos α, поэтому tg α = sin α/cos α. Отношение первой координаты ко второй даёт ctg α = cos α/sin α.

При α = π/2 + πk точка единичной окружности лежит на вертикальной оси, и её абсцисса, то есть cos α, равна нулю. Поэтому формула тангенса превращается в деление на ноль. При α = πk точка лежит на горизонтальной оси, sin α = 0, и не существует котангенса.

Знак отношения определяется знаками числителя и знаменателя. В I и III четвертях синус и косинус имеют одинаковые знаки, поэтому и tg x, и ctg x положительны. Во II и IV четвертях знаки различны, поэтому обе функции отрицательны.

При повороте на π точка единичной окружности переходит в противоположную, и обе её координаты меняют знак. В отношении синуса к косинусу или косинуса к синусу два минуса сокращаются, поэтому tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поворота на меньший положительный угол с таким свойством нет, значит, наименьший период равен π.

Из отношения координат видно, что при приближении к вертикальной оси значение тангенса неограниченно возрастает по модулю, а при приближении к горизонтальной оси так ведёт себя котангенс. Поэтому у графиков появляются вертикальные асимптоты: прямые, к которым график приближается, но не пересекает в точке разрыва. Между соседними асимптотами тангенс возрастает от −∞ до +∞, а котангенс убывает от +∞ до −∞.

Нули тангенса возникают, когда sin x = 0, то есть при x = πk; нули котангенса — когда cos x = 0, то есть при x = π/2 + πk. Поскольку на каждом промежутке между асимптотами функции проходят все действительные значения, их множество значений равно R. Нечётность следует из равенств sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x.

Основные свойства функций тангенса и котангенса

В таблице собраны свойства, которые нужны для чтения графиков и решения задач. В строке «область определения» указаны запрещённые значения аргумента, а в строке «множество значений» — возможные значения функции. Параметр k во всех формулах принимает любые целые значения.

Разбор задач

1. Значения в углу 5π/6

Найти tg(5π/6) и ctg(5π/6). Угол находится во II четверти, поэтому тангенс и котангенс должны быть отрицательными. Опорный угол равен π − 5π/6 = π/6.

1. Используем табличные значения: sin(π/6) = ½, cos(π/6) = √3/2.
2. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому tg(5π/6) = −(½)/(√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
3. ctg(5π/6) = (−√3/2)/(½) = −√3.

Ответ: tg(5π/6) = −√3/3, ctg(5π/6) = −√3. Знаки совпали с прогнозом по четверти, значит, вычисление можно считать проверенным.

2. Уравнение tg x = √3

Решить уравнение на отрезке [0; 2π]. Сначала ищем угол, тангенс которого равен √3: это π/3. Так как период тангенса равен π, общий вид решений будет x = π/3 + πk.

1. Подставляем k = 0: получаем x = π/3.
2. Подставляем k = 1: получаем x = 4π/3.
3. При других целых k значения выходят за отрезок [0; 2π] или дают отрицательное число.

Ответ: x = π/3 и x = 4π/3. Оба значения допустимы: они не имеют вида π/2 + πk, где тангенс не существует.

3. Исследование y = ctg(2x − π/3)

Нужно найти область определения, период, нули, асимптоты и промежутки монотонности. Обозначим внутренний аргумент t = 2x − π/3 и применим свойства базовой функции котангенса. Коэффициент 2 изменит масштаб по оси x.

1. Область определения: sin t ≠ 0, значит t ≠ πk; поэтому x ≠ π/6 + πk/2.
2. Период равен π/2, так как период аргумента делится на 2.
3. Нули: t = π/2 + πk, откуда x = 5π/12 + πk/2.
4. Вертикальные асимптоты: x = π/6 + πk. Котангенс убывает на каждом промежутке (π/6 + πk/2; π/6 + π(k + 1)/2).

Ответ: D = R без точек π/6 + πk/2, период π/2, нули x = 5π/12 + πk/2. Асимптоты имеют уравнения x = π/6 + πk/2, а функция убывает между соседними асимптотами.

Типичные ошибки

Ошибка: записать tg α = cos α/sin α или ctg α = sin α/cos α. Так функции перепутаны местами, потому что в памяти остаётся только слово «отношение». Проверьте себя по правилу: тангенс — синус делить на косинус, котангенс — косинус делить на синус.

Ошибка: считать, что тангенс существует при любом угле. Такое происходит, если не проверять знаменатель формулы. Перед вычислением убедитесь, что cos α ≠ 0; запрещённые углы имеют вид π/2 + πk.

Ошибка: назвать периодом тангенса 2π. Это период синуса и косинуса, но их отношение уже повторяется после поворота на π. Используйте равенство tg(x + π) = tg x и выбирайте наименьший положительный период.

Ошибка: определять знак по одному числу — только по синусу или только по косинусу. Знак отношения зависит сразу от числителя и знаменателя: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Сначала определите четверть угла, затем знаки обеих функций.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны единичная окружность, радианная мера угла, а также таблица значений синуса и косинуса. Координаты точки окружности объясняют, откуда берутся формулы тангенса и котангенса.

Нужно уметь определять знаки синуса и косинуса по четвертям и применять формулы приведения. Эти навыки позволяют быстро находить значения функций для углов, отличающихся от табличных.

Тангенс и котангенс используются при решении тригонометрических уравнений и неравенств, построении графиков и изучении производных тригонометрических функций. Их области определения особенно важны при преобразованиях и проверке корней.

Что запомнить

• tg x = sin x/cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x/sin x при sin x ≠ 0.
• Обе функции имеют область значений R.
• Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен π.
• Тангенс и котангенс — нечётные функции.
• Тангенс возрастает на каждом промежутке своей области определения, а котангенс убывает.
• Значение функции нельзя находить в точках, где её знаменатель равен нулю.