14. Синус и косинус любого угла

Определения и обозначения

Направленный угол задаётся начальным и конечным лучами, а также направлением поворота от первого луча ко второму. Поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Такое соглашение позволяет различать углы, имеющие одинаковые лучи, но полученные разными поворотами.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Она нужна потому, что координаты каждой её точки не выходят за пределы от −1 до 1. По этой окружности удобно задавать тригонометрические функции для углов любого размера.

Синус угла — ордината, то есть координата y, точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Иными словами, sin x показывает, насколько высоко или низко находится точка относительно оси Ox. Поэтому знак синуса зависит от расположения точки выше или ниже этой оси.

Косинус угла — абсцисса, то есть координата x, соответствующей точки единичной окружности. Косинус показывает положение точки вправо или влево от оси Oy. Благодаря этому по координатам можно сразу определить его знак и величину.

Как это устроено

Поместим начальный луч в положительную часть оси Ox и будем поворачивать его вокруг начала координат. При каждом повороте конечный луч пересекает единичную окружность в одной точке M. Именно эта точка связывает угол с числами: её абсцисса становится косинусом, а ордината — синусом.

Такое определение работает для любого поворота, потому что луч может сделать один или несколько полных оборотов, повернуть назад или оказаться в любой четверти. Например, при тупом угле точка попадает во II четверть, но её координаты всё равно существуют. Значит, синус и косинус не ограничены острыми углами и прямоугольным треугольником.

Радиус единичной окружности равен 1, поэтому для точки M(a; b) выполняется a² + b² = 1. Отсюда следуют неравенства −1 ≤ a ≤ 1 и −1 ≤ b ≤ 1, а значит, такие же границы имеют косинус и синус. Координата достигает 1 или −1 только в крайних точках окружности.

В I четверти обе координаты положительны; во II абсцисса отрицательна, а ордината положительна; в III обе отрицательны; в IV абсцисса положительна, а ордината отрицательна. После полного оборота точка возвращается на прежнее место, поэтому период функций равен 2π. Отражение точки относительно оси Ox меняет знак ординаты, но не абсциссы: отсюда sin(−x) = −sin x и cos(−x) = cos x.

Из положения четырёх основных точек окружности получаем: sin 0 = 0, cos 0 = 1; sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0; sin π = 0, cos π = −1; sin(3π/2) = −1, cos(3π/2) = 0. Эти значения служат опорными точками для вычислений и графиков. Они также показывают, как меняются функции при движении по окружности.

Свойства синуса и косинуса любого угла

В таблице собраны основные свойства функций. При работе с конкретным углом сначала определите четверть и знак, затем используйте периодичность, чётность или табличное значение.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найти sin 150° и cos 150°. Угол 150° не является острым, поэтому сначала определим его положение и свяжем его с известным углом 30°.

1. Представим 150° как 180° − 30°. Это угол II четверти.
2. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
3. Используем значения для 30°: sin 30° = ½, cos 30° = √3/2.

Ответ: sin 150° = ½, cos 150° = −√3/2.

Задача 2

Условие: вычислить sin(−π/3) + cos(5π/6). Оба угла связаны с табличными углами, но для каждого нужно отдельно учесть знак.

1. По нечётности sin(−π/3) = −sin(π/3) = −√3/2.
2. Угол 5π/6 = 150° находится во II четверти, поэтому cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.
3. Складываем полученные значения: −√3/2 − √3/2 = −√3.

Ответ: −√3.

Задача 3

Условие: известно, что sin α = 3/5 и π/2 < α < π. Найти cos α и 2cos α − sin α. Интервал показывает, что α лежит во II четверти, поэтому косинус будет отрицательным.

1. По тождеству sin²α + cos²α = 1 получаем cos²α = 1 − 9/25 = 16/25.
2. Следовательно, cos α = ±4/5, но во II четверти косинус отрицателен: cos α = −4/5.
3. Подставляем в выражение: 2cos α − sin α = 2 · (−4/5) − 3/5 = −11/5.

Ответ: cos α = −4/5; 2cos α − sin α = −11/5.

Типичные ошибки

Иногда синус и косинус пытаются определять по координатам точки окружности любого радиуса. Это неверно: координаты меняются вместе с радиусом, поэтому нужна именно единичная окружность. Проверка проста: радиус должен быть равен 1, а значения функций не должны выходить за пределы [−1; 1].

Другая ошибка — переносить положительные значения острого угла на любой связанный с ним угол. В разных четвертях меняются знаки функций, поэтому сначала найдите положение точки. Полезно проверить ответ по таблице знаков.

Синус иногда путают с абсциссой, а косинус — с ординатой. Запомните: sin x — координата y, cos x — координата x. Самопроверка выполняется по основным точкам: для угла 0 косинус равен 1, а синус равен 0.

Нельзя считать sin(−x) равным sin x или механически прибавлять период к аргументу без изменения значения. Для отрицательного угла синус меняет знак, а косинус сохраняет его; периодические формулы требуют прибавления 2πk. После преобразования сравните результат с чётностью функции.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны координатная плоскость, четверти, градусная и радианная меры угла, а также теорема Пифагора. Они объясняют координаты точки окружности и связь между сторонами прямоугольного треугольника.

Синус и косинус служат основой для изучения тангенса, котангенса, формул приведения и тригонометрических тождеств. Без их знаков и периодичности эти формулы трудно применять осмысленно.

Дальше функции используются при построении графиков, решении тригонометрических уравнений и изучении производных. Единичная окружность помогает понимать графики, а не только запоминать их вид.

Что запомнить

• Синус угла — ордината точки единичной окружности, косинус — её абсцисса.
• Для любого угла −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
• sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x.
• sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x.
• Знаки синуса и косинуса определяются четвертью, в которой находится точка окружности.
• Для любого угла выполняется sin²x + cos²x = 1.