5.1.2. Тригонометрические функции числового аргумента

Определения и обозначения

Синус числового аргумента — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу x. Ординатой называют координату по вертикальной оси. Это определение позволяет находить sin x по положению точки, не ограничиваясь углами от 0° до 360°.

Косинус числового аргумента — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу x. Абсцисса — координата по горизонтальной оси. По ней можно определить cos x и вместе с синусом восстановить положение точки на окружности.

Тангенс числового аргумента — отношение синуса к косинусу при cos x ≠ 0: tg x = sin x / cos x. Условие нужно потому, что деление на ноль не определено. Тангенс помогает описывать отношение вертикальной и горизонтальной координат.

Котангенс числового аргумента — отношение косинуса к синусу при sin x ≠ 0: ctg x = cos x / sin x. Ненулевой знаменатель ограничивает значения, при которых котангенс существует. Эта функция выражает обратное отношение координат по сравнению с тангенсом.

Как это устроено

Число x связывают с поворотом точки, потому что так можно единообразно задать положение на окружности для любого числа. Отсчёт начинают от точки (1; 0): положительный поворот идёт против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. За один полный оборот точка проходит длину окружности единичного радиуса, то есть 2π. Поэтому аргумент удобно измерять в радианах: радианная мера прямо соотносится с длиной дуги и не требует ограничивать поворот одним кругом.

На единичной окружности радиус равен 1, а положение каждой точки задаётся координатами. Для точки, полученной поворотом на x, горизонтальная координата по определению равна cos x, вертикальная — sin x. Например, если точка находится выше горизонтальной оси, её ордината положительна, значит, sin x > 0. Такое геометрическое описание позволяет определять знаки и значения функций по четвертям.

Формулы tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x задают функции через деление. Делитель не может быть равен нулю, поэтому тангенс исключает точки, где cos x = 0, а котангенс — точки, где sin x = 0. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, синус — при x = πk, где k ∈ Z. Следовательно, область определения тангенса: все действительные числа, кроме π/2 + πk; котангенса — все действительные числа, кроме πk.

Координаты точки единичной окружности не могут быть больше радиуса по модулю. Так как радиус равен 1, для синуса и косинуса выполняются неравенства −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. У отношений sin x / cos x и cos x / sin x таких ограничений нет: знаменатель может быть сколь угодно близок к нулю, и отношение может стать сколь угодно большим по модулю. Поэтому тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.

После поворота на 2π точка возвращается в исходное положение, а её координаты повторяются. Отсюда sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x; их основной период равен 2π. Если повернуть точку на π, обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним, поэтому периоды tg и ctg равны π. Отражение точки относительно горизонтальной оси меняет знак синуса, но сохраняет косинус: sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x; отсюда синус и тангенс нечётные, а косинус и котангенс чётные.

Основные свойства тригонометрических функций числового аргумента

В формулах k — любое целое число, а R — множество всех действительных чисел. Сначала проверяйте область определения: она показывает, какие x нельзя подставлять. Затем используйте период, нули и промежутки знакопостоянства, чтобы анализировать функцию на нужном отрезке.

Разбор задач

Вычислить sin(5π/6), cos(5π/6), tg(5π/6) и ctg(5π/6)

Аргумент 5π/6 соответствует углу 150°: он лежит во второй четверти. Опорный, или табличный, угол равен π − 5π/6 = π/6. Во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен; значит, тангенс и котангенс отрицательны. Подставим табличные значения для π/6.

1. Для π/6 синус равен 1/2. Поэтому sin(5π/6) = 1/2.
2. Для π/6 косинус равен √3/2, но во второй четверти косинус отрицателен. Значит, cos(5π/6) = −√3/2.
3. Разделим синус на косинус: tg(5π/6) = (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.
4. Котангенс — отношение косинуса к синусу: ctg(5π/6) = (−√3/2)/(1/2) = −√3.

Ответ: sin(5π/6) = 1/2, cos(5π/6) = −√3/2, tg(5π/6) = −√3/3, ctg(5π/6) = −√3.

Для функции y = tg x указать область определения, период, нули и промежутки возрастания

Тангенс равен отношению sin x и cos x, поэтому сначала находим, где знаменатель обращается в ноль. Период и нули можно узнать из свойств функций, а возрастание — по поведению графика на каждой ветви. Ветвь здесь означает часть графика между соседними точками, где функция не определена.

1. Условие cos x ≠ 0 даёт область определения: x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
2. Период тангенса равен π, то есть tg(x + π) = tg x.
3. Нули получаются, когда sin x = 0 и cos x ≠ 0: x = πk, k ∈ Z.
4. На каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk) тангенс возрастает от больших отрицательных значений к большим положительным. Эти промежутки не включают концы, где функция не определена.

Ответ: область определения — x ≠ π/2 + πk; период — π; нули — x = πk; промежутки возрастания — (−π/2 + πk; π/2 + πk), k ∈ Z.

Решить уравнение tg x = −√3 на отрезке [−π; 2π]

Сначала найдём угол, тангенс которого равен −√3, а затем учтём, что все значения тангенса повторяются через π. Табличное значение tg(π/3) = √3, поэтому для отрицательного значения подходит угол −π/3. Останется подобрать целые k так, чтобы корни попали в заданный отрезок.

1. Общее решение: x = −π/3 + πk, k ∈ Z.
2. Проверим границы: −π ≤ −π/3 + πk ≤ 2π.
3. После деления на π и прибавления 1/3 получаем −2/3 ≤ k ≤ 7/3. Целые значения k: 0, 1, 2.
4. Подставляем их в формулу: x = −π/3, 2π/3, 5π/3. Все три корня принадлежат отрезку.

Ответ: −π/3, 2π/3, 5π/3.

Типичные ошибки

Указывать для тангенса период 2π — значит не заметить, что значения повторяются уже через π. Так ошибаются, если механически переносят период синуса и косинуса на все функции. Проверка простая: tg(x + π) = (−sin x)/(−cos x) = tg x, поэтому период π.

Считать, что тангенс и котангенс определены при любом x, нельзя: обе функции заданы отношениями. Ошибка возникает, когда проверяют только числитель и забывают о знаменателе. Перед вычислением проверьте cos x для тангенса и sin x для котангенса: каждый знаменатель должен быть ненулевым.

Путаница координат меняет местами синус и косинус: синус — не абсцисса, а ордината, косинус — не ордината, а абсцисса. Обычно это происходит, если запомнить названия без рисунка осей. Для проверки представьте точку (cos x; sin x): первая координата относится к горизонтальной оси, вторая — к вертикальной.

Неверный знак в четверти или смешение нулей синуса и косинуса приводит к неправильному ответу. Причина часто в том, что используют только табличное значение и забывают положение точки. Сверяйтесь с координатами: sin x = 0 при x = πk, а cos x = 0 при x = π/2 + πk; знаки определяйте по четверти.

Связь с другими темами

Для работы с тригонометрическими функциями нужны знания о единичной окружности, радианной мере, координатах точки и периодических функциях. Периодичность означает, что значения повторяются через постоянный промежуток аргумента. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса становятся основой для построения и преобразования их графиков.

Дальше эти функции применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств: нужно учитывать периоды, знаки и области определения. Формулы приведения помогают переносить вычисление к табличному углу. Эти же идеи встречаются при изучении математического анализа.

Что запомнить

• sin x и cos x определены при любом действительном x.
• −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.
• tg x = sin x / cos x, поэтому тангенс не определён при cos x = 0.
• ctg x = cos x / sin x, поэтому котангенс не определён при sin x = 0.
• Периоды синуса и косинуса равны 2π.
• Периоды тангенса и котангенса равны π.
• Синус и тангенс — нечётные функции, косинус и котангенс — чётные.