5.1.3. Свойства тригонометрических функций

Определения и обозначения

Область определения функции — все значения аргумента x, при которых выражение для функции имеет смысл. Синус и косинус определены при любом действительном x, а tg x = sin x / cos x нельзя вычислять при cos x = 0. Поэтому область определения тангенса исключает x = π/2 + πk, а котангенса — x = πk, где k ∈ Z. Зная область определения, мы не подставим в функцию запрещённое значение.

Множество значений — все числа, которые может принимать функция. Синус и косинус принимают значения от −1 до 1 включительно, тангенс и котангенс — любые действительные числа. Это помогает оценивать выражения и понимать, какие уравнения могут иметь решения. Например, уравнение sin x = 2 решений не имеет.

Периодичность означает, что значения функции повторяются через некоторое число T: f(x + T) = f(x). Наименьший положительный период — самое маленькое положительное число с этим свойством. У синуса и косинуса он равен 2π, у тангенса и котангенса — π; периоды позволяют описывать поведение функции на всей числовой прямой по одному повторяющемуся участку.

Чётность сравнивает значения функции в точках x и −x. Если f(−x) = f(x), функция чётная; если f(−x) = −f(x), она нечётная. Косинус чётный, синус, тангенс и котангенс нечётные. Это свойство помогает переносить найденные значения с одной стороны нуля на другую и видеть симметрию графика.

Как это устроено

На единичной окружности углу x соответствует точка с координатами (cos x; sin x). Поэтому синус и косинус существуют для любого угла: точка на окружности всегда есть. Тангенс выражается отношением sin x / cos x, а котангенс — отношением cos x / sin x. Делить на ноль нельзя, поэтому тангенс исключает углы, для которых cos x = 0, а котангенс — углы, для которых sin x = 0.

У окружности радиус 1, а её точка не выходит за пределы квадрата с координатами от −1 до 1. Значит, обе координаты точки лежат в этом диапазоне, и такими же ограниченными являются синус и косинус. Отношение координат может быть сколь угодно большим по модулю, если знаменатель близок к нулю. Поэтому тангенс и котангенс принимают любое действительное значение.

При повороте на полный круг 2π точка на окружности возвращается в исходное положение, поэтому синус и косинус повторяют значения. При повороте на π обе координаты меняют знак, но их отношение остаётся прежним: tg(x + π) = tg x. Аналогично ctg(x + π) = ctg x. Это объясняет, почему у тангенса и котангенса период π, а не 2π.

Замена x на −x отражает точку окружности относительно горизонтальной оси: абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак. Значит, cos(−x) = cos x и sin(−x) = −sin x. Из отношений синуса и косинуса следуют равенства tg(−x) = −tg x и ctg(−x) = −ctg x. Так симметрия окружности объясняет чётность косинуса и нечётность трёх остальных функций.

Чтобы найти нули, ищут углы, при которых соответствующая координата или отношение равны нулю. Знаки определяют по четвертям единичной окружности: синус задаёт знак ординаты, косинус — абсциссы, а тангенс и котангенс положительны, когда синус и косинус одного знака. Промежутки возрастания и убывания удобно читать по графику за один период, не переходя через точки разрыва. Затем найденные промежутки повторяют с периодом функции.

Основные свойства тригонометрических функций

Здесь k — любое целое число, а R обозначает множество действительных чисел. Для синуса и косинуса границы промежутков монотонности включаются, для тангенса и котангенса точки разрыва исключаются. По таблице удобно быстро проверить нужное свойство, а знаки и интервалы повторять с указанным периодом.

Разбор задач

Задача 1. Функция y = 2sin x − 1

Нужно определить область определения, множество значений, период и чётность. Сначала используем свойства синуса, затем учитываем умножение на 2 и вычитание 1. Эти действия меняют значения функции, но не запрещают новые значения x.

1. Синус определён при всех x ∈ R, значит, область определения функции — R.
2. Так как −1 ≤ sin x ≤ 1, после умножения на 2 получаем −2 ≤ 2sin x ≤ 2. После вычитания 1: −3 ≤ y ≤ 1, поэтому множество значений — [−3; 1].
3. Период не меняется при умножении значений на 2 и сдвиге вниз на 1. Наименьший положительный период равен 2π.
4. Проверим чётность: f(−x) = −2sin x − 1. Это не равно f(x) и не равно −f(x) для всех x, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ: область определения R, множество значений [−3; 1], период 2π; функция не является ни чётной, ни нечётной. Для проверки чётности важно подставлять −x во всё выражение, включая сдвиг −1.

Задача 2. Сравнение cos(−7π/6) и cos(7π/6)

Сначала применим чётность: косинус не меняется при смене знака аргумента. Затем найдём точное значение, используя периодичность и известный угол π/6. Это позволяет сравнить числа без десятичных приближений.

1. Так как cos(−x) = cos x, получаем cos(−7π/6) = cos(7π/6).
2. Представим угол 7π/6 как π + π/6. Косинус угла, увеличенного на π, меняет знак: cos(π + α) = −cos α.
3. Поскольку cos(π/6) = √3/2, имеем cos(7π/6) = −√3/2. Значит, оба исходных значения равны −√3/2.

Ответ: cos(−7π/6) = cos(7π/6) = −√3/2. Равенство чисел следует из чётности, а точное значение — из расположения угла и табличного значения косинуса π/6.

Задача 3. Функция y = tg(2x − π/3)

Нужно найти область определения, период, нули, вертикальные асимптоты и промежутки монотонности. Введём угол u = 2x − π/3 и перенесём на него свойства тангенса. Коэффициент 2 сжимает промежутки по горизонтали вдвое, а сдвиг аргумента переносит их.

1. Тангенс не определён, когда u = π/2 + πk. Решаем 2x − π/3 = π/2 + πk: x = 5π/12 + πk/2. Область определения — все действительные x, кроме этих точек.
2. Период T находим из 2(x + T) − π/3 = (2x − π/3) + π. Отсюда 2T = π, значит, T = π/2.
3. Нули тангенса возникают при u = πk. Решение 2x − π/3 = πk даёт x = π/6 + πk/2.
4. Точки вертикальных асимптот совпадают с исключёнными значениями: x = 5π/12 + πk/2. Между соседними асимптотами тангенс возрастает, поэтому функция возрастает на каждом интервале (π/12 + πk/2; 5π/12 + πk/2).

Ответ: D = R без точек 5π/12 + πk/2; период π/2; нули x = π/6 + πk/2; асимптоты x = 5π/12 + πk/2; функция возрастает на (π/12 + πk/2; 5π/12 + πk/2), где k ∈ Z. Концы промежутков нельзя включать: в них тангенс не определён.

Типичные ошибки

Ошибка: записать область определения тангенса как все действительные числа. Её допускают, если забывают, что tg x — это дробь с cos x в знаменателе. Проверьте знаменатель: при cos x = 0, то есть x = π/2 + πk, значение функции не существует.

Ошибка: считать периодом тангенса 2π по аналогии с синусом и косинусом. Но при сдвиге на π синус и косинус меняют знаки одновременно, поэтому их отношение уже повторяется. Для проверки подставьте x + π в выражение sin x / cos x.

Ошибка: путать чётность с периодичностью или считать тангенс чётным. Периодичность сравнивает f(x) и f(x + T), а чётность — f(x) и f(−x). Подстановка показывает, что tg(−x) = −tg x, значит, тангенс нечётный, а не чётный.

Ошибка: записывать промежутки монотонности через точки разрыва или включать их в интервал. Так бывает, когда ориентируются только на повторяющуюся форму графика и не отмечают асимптоты. Сначала найдите запрещённые x и границы периода, а затем задавайте интервалы открытыми скобками у точек разрыва.

Связь с другими темами

Для работы с тригонометрическими функциями нужны единичная окружность, радианная мера угла, знаки координат по четвертям и определения sin, cos, tg и ctg. Исследование свойств помогает строить графики, упрощать тригонометрические выражения и решать уравнения и неравенства. Замена аргумента, например переход от x к 2x − π/3, связывает тему с преобразованиями графиков: растяжением, сжатием и сдвигом.

Что запомнить

• sin x и cos x определены при всех действительных x и принимают значения только от −1 до 1.
• tg x не определён при x = π/2 + πk, а ctg x — при x = πk.
• Период sin x и cos x равен 2π.
• Период tg x и ctg x равен π.
• Косинус — чётная функция; синус, тангенс и котангенс — нечётные.
• Промежутки монотонности тригонометрических функций повторяются с их периодом.
• Нули функций нужно находить с учётом общего решения и целого параметра k.