"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла связаны между собой, поэтому, зная одну функцию, часто можно найти другую. Для этого используют основное тригонометрическое тождество и определения тангенса и котангенса. Главное — не терять знак при извлечении корня: он зависит от четверти угла. Также перед делением проверяют, что знаменатель не равен нулю. Эти правила помогают вычислять значения функций и преобразовывать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс угла — отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0. Иначе говоря, тангенс показывает, во сколько раз синус отличается от косинуса с учётом их знаков. Это определение позволяет находить тангенс, когда известны синус и косинус.
Котангенс угла — отношение косинуса к синусу: ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. В отличие от тангенса, здесь косинус стоит в числителе, а синус — в знаменателе. Определение помогает вычислить котангенс по двум другим функциям, но требует ненулевого синуса.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Оно означает, что квадраты этих значений всегда в сумме дают единицу. Поэтому по значению одной из функций можно найти квадрат другой.
Знак тригонометрической функции — знак её значения, который зависит от четверти, где расположен угол. Например, в первой четверти синус и косинус положительны, а во второй косинус отрицателен. Знание четверти нужно, чтобы после извлечения корня выбрать правильное значение функции.
Чтобы выразить синус через косинус, перенесём cos² α в правую часть тождества: sin² α = 1 − cos² α. Аналогично cos² α = 1 − sin² α. Эти равенства дают квадрат искомой функции, потому что в исходном тождестве складываются именно квадраты синуса и косинуса. Затем остаётся извлечь корень, но знак результата нужно определить отдельно.
При извлечении корня появляются два варианта: если x² = a, то x может быть √a или −√a. Поэтому из sin² α = 1 − cos² α следует sin α = ±√(1 − cos² α), а не только выражение с плюсом. Выбор зависит от того, где находится угол: знак синуса и косинуса в каждой четверти определён. Если четверть не указана, а известен только квадрат функции, возможны оба знака.
Формулы для тангенса и котангенса получаются прямо из их определений: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α. Они позволяют вычислять эти функции по известным синусу и косинусу. Но отношение существует только тогда, когда знаменатель не равен нулю: для тангенса нельзя делить на cos α = 0, а для котангенса — на sin α = 0.
Чтобы выразить функции через тангенс, подставим sin α = tg α · cos α в основное тождество. Получим cos² α(1 + tg² α) = 1, откуда cos α = ±1 / √(1 + tg² α), а sin α = ±tg α / √(1 + tg² α). Через котангенс рассуждаем так же: cos α = ctg α · sin α, поэтому sin α = ±1 / √(1 + ctg² α), а cos α = ±ctg α / √(1 + ctg² α). Знаки снова выбираются с учётом четверти.
Перед применением формулы нужно проверить, при каких значениях она получена. Если в ходе вывода делили на sin α или cos α, то эти значения не должны быть нулевыми. Например, tg α не определён при cos α = 0, а ctg α — при sin α = 0. Такая проверка не формальность: деление на ноль невозможно, даже если остальные вычисления выглядят верно.
| Что выражаем | Формула | Условие выбора знака или применения |
|---|---|---|
| sin α через cos α | sin α = ±√(1 − cos² α) | Знак выбирают по четверти или условию |
| cos α через sin α | cos α = ±√(1 − sin² α) | Знак выбирают по четверти или условию |
| tg α через sin α и cos α | tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 |
| ctg α через sin α и cos α | ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 |
| sin α через tg α | sin α = ±tg α / √(1 + tg² α) | Знак выбирают по четверти |
| cos α через tg α | cos α = ±1 / √(1 + tg² α) | Знак выбирают по четверти |
| sin α через ctg α | sin α = ±1 / √(1 + ctg² α) | Знак выбирают по четверти |
| cos α через ctg α | cos α = ±ctg α / √(1 + ctg² α) | Знак выбирают по четверти |
Сначала найдите в таблице строку, соответствующую известной функции и тому, что нужно вычислить. Затем проверьте условие применения формулы и определите знак по четверти угла. Если четверть неизвестна, не заменяйте знак ± одним конкретным знаком без дополнительного условия.
Известен косинус, а требуется синус, поэтому применим основное тождество. Полученное значение синуса будет положительным, так как угол лежит в первой четверти. Проверим, что найденное значение согласуется с заданным косинусом.
Ответ: sin α = 4/5.
Сначала найдём косинус из основного тождества, а потом — тангенс по определению. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому положительный квадратный корень здесь не подходит. При вычислении тангенса знак получится отрицательным: его числитель положителен, а знаменатель отрицателен.
Ответ: cos α = −12/13, tg α = −5/12.
Тангенс связывает синус и косинус, а тождество задаёт сумму их квадратов. Сначала найдём квадраты функций, затем определим знаки по второй четверти. Тангенс отрицателен, что также согласуется с положительным синусом и отрицательным косинусом.
Ответ: sin α = 3/5, cos α = −4/5.
Запись sin α = √(1 − cos² α) без знака ± теряет второй корень уравнения для квадрата. Так часто делают, потому что привыкли считать арифметический квадратный корень неотрицательным. Проверьте, указана ли четверть: если синус может быть отрицательным, формула только с плюсом неверна.
Знак функции иногда выбирают по числовому значению другой функции, не учитывая четверть. Однако одинаковое значение косинуса может сочетаться с положительным или отрицательным синусом в разных четвертях. Проверяйте знак по расположению угла, а не по величине известной функции.
Путаница определений приводит к записи tg α = cos α / sin α. Это отношение на самом деле является котангенсом, а тангенс равен sin α / cos α. Чтобы проверить себя, восстановите определения: для тангенса синус делят на косинус, для котангенса — косинус на синус.
Деление на sin α или cos α без проверки может привести к формуле, не имеющей смысла при нулевом знаменателе. Ошибку допускают, когда сразу подставляют значения в дробь и не смотрят на её знаменатель. Перед вычислением отдельно убедитесь, что для тангенса cos α ≠ 0, а для котангенса sin α ≠ 0.
Для работы с формулами нужно знать основное тригонометрическое тождество, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также знаки функций по четвертям. Эти знания соединяются в одном алгоритме: применить тождество, выбрать знак по четверти и проверить возможность деления. Поэтому тема опирается и на вычисления с квадратными корнями, и на представление углов на координатной плоскости.
Выражение одной функции через другую пригодится при упрощении тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений. Оно также помогает вычислять значения функций, если дано значение только одной из них и известна четверть угла. Умение проверять ограничения полезно во всех задачах, где встречаются дроби и деление на выражение.
Почему при выражении синуса через косинус появляются два возможных знака?
Из тождества получается sin² α = 1 − cos² α, а уравнение x² = a имеет два корня: x = √a и x = −√a. Поэтому sin α = ±√(1 − cos² α). Какой знак верный, определяют по четверти угла или по дополнительному условию.
Как определить знак синуса или косинуса, если в условии дана четверть?
В первой четверти синус и косинус положительны, во второй положителен синус, а косинус отрицателен. В третьей оба значения отрицательны, в четвёртой синус отрицателен, а косинус положителен. Сначала определите четверть, затем выберите знак.
Можно ли найти тангенс, если известны только синус или только косинус?
Обычно можно: по основному тождеству находят вторую функцию, выбирают её знак по четверти, а затем вычисляют tg α = sin α / cos α. Но если косинус равен нулю, тангенс не определён. Поэтому нужно проверить допустимость деления.
Чем отличаются формулы для тангенса и котангенса?
Тангенс — это отношение синуса к косинусу: tg α = sin α / cos α. Котангенс — обратное отношение: ctg α = cos α / sin α. Поэтому для тангенса требуется cos α ≠ 0, а для котангенса — sin α ≠ 0.
Почему при некоторых значениях угла формулы с тангенсом или котангенсом неприменимы?
Тангенс нельзя вычислить, когда cos α = 0, а котангенс — когда sin α = 0: в определениях пришлось бы делить на ноль. По той же причине формулы, полученные делением на синус или косинус, имеют ограничения. Их проверяют до вычислений.
5.1.4. Выражение одних тригонометрических функций через другие
