"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Синус и косинус одного угла связаны основным тождеством sin²α + cos²α = 1. Из него получают формулы, позволяющие выразить квадрат одной функции через другую, а также вывести тождества для тангенса и котангенса. Эти соотношения помогают находить значения функций, упрощать выражения и доказывать равенства. При преобразованиях нужно следить за тем, определены ли исходные дроби и не делится ли выражение на ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — это равенство sin²α + cos²α = 1, связывающее синус и косинус одного угла; оно верно при любом α. Квадрат относится отдельно к каждой функции: sin²α означает (sin α)². Тождество позволяет, зная одну из этих функций, найти квадрат другой.
Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Это определение имеет смысл только при cos α ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Оно помогает заменять тангенс дробью с синусом и косинусом.
Котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Котангенс определён при sin α ≠ 0. Благодаря определению выражения с котангенсом можно преобразовывать, используя синус и косинус.
Тригонометрические преобразования — замена выражения равным ему с помощью тождеств и соотношений между sin, cos, tg и ctg. При этом значение выражения сохраняется, но его вид может стать удобнее для вычислений или доказательства. Нужно также учитывать, при каких углах исходная запись имеет смысл.
На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу α, равны (cos α; sin α). Единичная окружность имеет уравнение x² + y² = 1, потому что расстояние от каждой её точки до начала координат равно 1. Подстановка координат точки в это уравнение и даёт sin²α + cos²α = 1, поэтому соотношение верно для любого угла.
Чтобы получить формулу для тангенса, разделим обе части основного тождества на cos²α, но только если cos α ≠ 0. Тогда sin²α / cos²α + 1 = 1 / cos²α, а первая дробь равна tg²α по определению тангенса. Аналогично, деление на sin²α при sin α ≠ 0 приводит к 1 + ctg²α = 1 / sin²α.
Из основного тождества можно перенести один квадрат в правую часть: sin²α = 1 − cos²α, а также cos²α = 1 − sin²α. Такие формы удобны, когда значение одной функции известно, а выражение содержит квадрат другой. Если же требуется сама функция, а не её квадрат, после извлечения корня нужно выбрать знак по четверти угла.
Выражения с tg и ctg можно переписать через синус и косинус: например, tg α · ctg α = (sin α / cos α) · (cos α / sin α). Сокращение в этой дроби допустимо только при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0. Поэтому сначала проверь, определено ли исходное выражение, и не забывай сохранить ограничения даже после упрощения.
Выбирать преобразование следует по тому, какая информация дана и к какому виду нужно прийти. Если известен косинус, часто удобно выразить через него sin²α; если в выражении есть тангенс, можно заменить его отношением синуса к косинусу. При нахождении значения функции учитывай её знак в нужной четверти, а при доказательстве следи, чтобы каждое действие было допустимо для рассматриваемого угла.
| Соотношение | Формула | Ограничение |
|---|---|---|
| Основное тождество | sin²α + cos²α = 1 | Верно при любом α |
| Выражение sin²α через cos α | sin²α = 1 − cos²α | Верно при любом α |
| Выражение cos²α через sin α | cos²α = 1 − sin²α | Верно при любом α |
| Определение тангенса | tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 |
| Определение котангенса | ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 |
| Тождество для тангенса | 1 + tg²α = 1 / cos²α | cos α ≠ 0 |
| Тождество для котангенса | 1 + ctg²α = 1 / sin²α | sin α ≠ 0 |
Сначала найди формулу, которая связывает известную часть выражения с той, которую нужно получить. Затем проверь ограничение в третьем столбце: оно особенно важно для формул с делением. Если преобразуешь исходное выражение, сохраняй и его собственные ограничения.
Задача 1. Упростите выражение sin²α + cos²α + 2tg α · ctg α. Сначала проверим, когда выражение вообще определено: в нём есть и тангенс, и котангенс. Затем применим основное тождество и определения tg и ctg.
Ответ: 3 при sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0.
Задача 2. Известно, что cos α = 3/5 и угол α лежит в первой четверти. Найдите sin α и tg α. Сначала найдём квадрат синуса, затем используем четверть, чтобы выбрать нужный знак, и только после этого вычислим тангенс.
Ответ: sin α = 4/5, tg α = 4/3.
Задача 3. Докажите тождество (1 − cos²α) / sin α = sin α. В левой части есть деление на sin α, поэтому сначала задаём условие, при котором исходная запись имеет смысл. Затем заменяем выражение в числителе с помощью основного тождества.
Ответ: тождество доказано при sin α ≠ 0.
Сокращение без проверки знаменателя. Если сократить дробь на sin α или cos α, не убедившись, что эта функция не равна нулю, можно включить в ответ угол, при котором исходная запись не определена. Ошибку допускают, сосредоточившись на упрощении и забыв об области определения. До сокращения выпиши условие на знаменатель и сохрани его в ответе.
Неверный знак при извлечении корня. Из sin²α = 1 − cos²α следует, что sin α = ±√(1 − cos²α), а не всегда положительный корень. Знак синуса зависит от четверти, поэтому без сведений о ней выбрать его нельзя. Проверь, в какой четверти лежит угол и какой знак там имеет синус.
Тангенс считают определённым при любом угле. В определении tg α = sin α / cos α знаменатель может обратиться в ноль, и тогда деление невозможно. Это часто упускают, потому что сам угол существует, хотя значение тангенса для него не задано. Проверяй условие cos α ≠ 0; тангенс не определён при α = π/2 + πk, где k ∈ Z.
Квадраты теряют в основном тождестве. Равенство sin²α + cos²α = 1 не означает, что sin α + cos α = 1. Квадрат относится к синусу и косинусу по отдельности, а не к их сумме. Для самопроверки подставь, например, α = 0: sin α + cos α = 1, но это не делает неверное равенство тождеством для всех углов.
Для работы с тождествами нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, единичная окружность и правила знаков функций в четвертях. Эти знания позволяют выбирать знак функции и проверять, определено ли выражение. Основные формулы затем применяются при упрощении выражений, вычислении значений и доказательстве равенств. Они также становятся основой для решения тригонометрических уравнений и изучения формул сложения и двойного угла.
Почему sin²α + cos²α = 1 верно для любого угла?
На единичной окружности точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α). Координаты любой точки этой окружности удовлетворяют уравнению x² + y² = 1, поэтому cos²α + sin²α = 1.
Как найти синус угла, если известен его косинус?
Из основного тождества получаем sin²α = 1 − cos²α, а затем извлекаем квадратный корень. Нужно выбрать знак: он зависит от четверти, в которой находится угол.
Почему при вычислении синуса по его квадрату нужно учитывать четверть?
Квадрат числа не показывает, было ли само число положительным или отрицательным: например, числа ½ и −½ имеют одинаковый квадрат. Знак синуса определяют по четверти угла.
При каких значениях угла не определён тангенс?
Тангенс равен sin α / cos α, поэтому он не определён, когда cos α = 0. Это происходит при α = π/2 + πk, где k — целое число.
Зачем при доказательстве тождества проверять допустимые значения угла?
Преобразования с дробями и сокращением допустимы только тогда, когда знаменатели не равны нулю. Проверка области определения помогает убедиться, что доказательство относится ко всем углам, для которых исходное равенство имеет смысл.
§ 2. Основные формулы тригонометрии. Тригонометрические преобразования
