5.2.1. Тригонометрические функции от суммы и разности двух чисел

Определения и обозначения

Синус суммы — это значение функции sin(α + β), где α и β — углы. Его находят по формуле sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Она позволяет вычислить синус суммы, даже если значение самой суммы не указано в таблице основных углов.

Синус разности — значение функции sin(α − β). Формула имеет вид sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Она нужна, чтобы выразить синус разности через синусы и косинусы исходных углов.

Косинус суммы — значение функции cos(α + β). Для него действует формула cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. С её помощью можно найти косинус суммы, используя значения функций от каждого угла отдельно.

Косинус разности — значение функции cos(α − β). Оно вычисляется по формуле cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Формула особенно удобна, когда разность углов можно представить через известные углы.

Как это устроено

Формулы сложения позволяют не искать значение функции от нового угла напрямую: результат выражается через синусы и косинусы углов α и β. Например, для sin(α + β) нужны sin α, cos α, sin β и cos β. Если эти значения известны, их можно подставить и выполнить обычные вычисления. Поэтому формулы помогают получать точные значения синусов и косинусов углов, не входящих в таблицу основных значений.

Идею формул можно увидеть на единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Точка с координатами (cos α, sin α) после поворота ещё на β переходит в точку, соответствующую углу α + β. При повороте координаты (x, y) превращаются в (x cos β − y sin β, x sin β + y cos β). Подставляя x = cos α и y = sin α, получаем для новой абсциссы cos α cos β − sin α sin β, а для ординаты — sin α cos β + cos α sin β; это и есть косинус и синус суммы.

Чтобы получить формулы разности, в формулах суммы вместо β берут −β. Косинус не меняется при смене знака угла: cos(−β) = cos β, а синус меняет знак: sin(−β) = −sin β. Поэтому в формуле синуса суммы знак плюс становится минусом, а в формуле косинуса суммы минус становится плюсом. Так из двух формул для суммы сразу получаются формулы для разности.

Знаки удобно проверять отдельно для каждой функции. В формулах синуса знак между двумя слагаемыми повторяет знак между углами: плюс для суммы и минус для разности. В формулах косинуса он противоположный: у суммы стоит минус, у разности — плюс. Это различие важно не смешивать: изменение знака во второй части формулы косинуса связано с тем, что косинус суммы содержит вычитание произведения синусов.

Формулы тангенса выводят делением формулы синуса на формулу косинуса. Например, для суммы делят sin(α + β) на cos(α + β), а затем числитель и знаменатель выражают через sin и cos α, β и сокращают на cos α cos β. В результате tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α tg β), если tg α и tg β определены и знаменатель не равен нулю. Также должен быть определён tg(α + β), то есть cos(α + β) ≠ 0; для разности условия аналогичны.

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Сначала выбери строку по выражению, затем подставь значения синусов и косинусов исходных углов. У синуса и косинуса формулы действуют при любых углах, а для тангенса проверь, что дробь имеет смысл и нужный тангенс определён. Указанные условия для тангенса суммы и разности вместе обеспечивают, что соответствующий итоговый тангенс определён.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить sin 75°, представив 75° как сумму известных углов. Угол 75° удобно записать как 45° + 30°, потому что точные значения синуса и косинуса этих углов известны. Используем формулу синуса суммы. Важно подставить оба слагаемых формулы, а не только синусы углов.

1. Записываем: sin 75° = sin(45° + 30°).
2. Применяем формулу: sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°.
3. Подставляем значения: sin 45° = cos 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2. Получаем √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2.
4. Складываем: sin 75° = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.

Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4.

Задача 2. Вычислить cos 15°, представив 15° как разность известных углов. Представим 15° как 45° − 30°. Для косинуса разности используется формула со знаком плюс между произведениями, хотя между углами стоит минус. Именно здесь легко по ошибке выбрать неверный знак.

1. Записываем: cos 15° = cos(45° − 30°).
2. Применяем формулу: cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.
3. Подставляем значения: cos 15° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · 1/2.
4. Выполняем вычисления: cos 15° = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.

Ответ: cos 15° = (√6 + √2)/4.

Задача 3. Упростить выражение sin(x + y)cos y − cos(x + y)sin y. В выражении встречаются синус и косинус одного угла x + y, умноженные на cos y и sin y. Такая структура напоминает формулу синуса разности: sin A cos B − cos A sin B = sin(A − B). Значит, можно свернуть всё выражение в одну функцию, взяв A = x + y, B = y.

1. Сопоставляем с формулой sin A cos B − cos A sin B.
2. Подставляем A = x + y и B = y: выражение равно sin((x + y) − y).
3. Сокращаем углы внутри скобок: (x + y) − y = x.

Ответ: sin x.

Типичные ошибки

В формуле cos(α + β) иногда ставят плюс между произведениями, путая её с формулой синуса суммы или косинуса разности. Ошибка появляется, когда запоминают только части формулы и не следят за знаком. Проверь себя: у косинуса суммы между произведениями должен быть минус, а у косинуса разности — плюс.

В формуле sin(α − β) могут оставить плюс перед cos α sin β. Так случается, если помнить формулу синуса суммы, но забыть, что знак в формуле синуса повторяет знак между углами. Для проверки сравни две записи рядом: у суммы плюс, у разности минус.

При вычислении sin(α − β) иногда подставляют значения sin β и cos β так, будто угол β не меняет знак. Но формулу разности можно понимать как sin(α + (−β)), а sin(−β) = −sin β, тогда как cos(−β) = cos β. Проверь подстановку по этим равенствам или используй сразу готовую формулу разности.

Формулу тангенса суммы или разности применяют, не проверяя, определены ли входящие тангенсы и не равен ли нулю знаменатель. Это опасно, потому что деление на ноль невозможно, а тангенс не существует при нулевом косинусе угла. Перед вычислениями проверь cos α ≠ 0, cos β ≠ 0, знаменатель формулы и определённость тангенса итогового угла.

Связь с другими темами

Перед изучением формул сложения полезно знать точные значения синуса и косинуса основных углов, а также чётность косинуса и нечётность синуса. Эти свойства помогают выводить формулы разности и аккуратно подставлять значения. Новые формулы используют для точных вычислений и упрощения тригонометрических выражений. Позже они становятся инструментом преобразования выражений и решения тригонометрических уравнений.

Что запомнить

• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.
• sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β.
• cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β.
• cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.
• В формулах косинуса знак между слагаемыми противоположен знаку между углами.
• Формулы тангенса суммы и разности применимы только там, где соответствующие выражения определены.