5.2.2. Формулы приведения

Определения и обозначения

Формулы приведения — равенства, позволяющие выразить значение тригонометрической функции угла через функцию аргумента α. Например, sin(π/2 − α) = cos α. Такие равенства нужны, чтобы упростить выражение или вычислить значение функции, когда исходный угол неудобен.

Угол приведения — часть аргумента, оставшаяся после выделения кратного π/2; обычно её обозначают α. Например, в угле π + α добавка α и есть угол приведения. Если правильно выделить эту часть, станет ясно, с каким более простым аргументом продолжать вычисление.

Софункции — пары синуса и косинуса, а также тангенса и котангенса, на которые функции переходят при приведении угла, содержащего нечётное число π/2. Иначе говоря, пары софункций — это sin и cos, tg и ctg. Понятие помогает определить, какое название функции записать после приведения.

Знак функции при приведении — знак значения функции исходного угла; его определяют по четверти, в которую попадает этот угол. Например, синус в третьей четверти отрицателен. Проверка четверти нужна, чтобы не потерять минус при замене функции.

Как это устроено

На тригонометрическом круге точка, соответствующая углу, имеет координаты: первая — cos угла, вторая — sin угла. Поворот на π/2 меняет направление координат, поэтому значения синуса и косинуса переходят друг в друга; при этом в зависимости от направления поворота координата может получить минус. Тангенс и котангенс — отношения этих координат, поэтому при той же перестановке они тоже меняются местами. Так геометрия круга объясняет и замену функции, и возможную смену знака.

Угол вида kπ ± α содержит чётное число четвертей оборота, если считать π/2 единицей: поворот на π меняет обе координаты на противоположные, но не переставляет их. Поэтому название функции сохраняется, а знак зависит от конкретного угла. Если же угол имеет вид (2k+1)π/2 ± α, поворот переставляет координаты, и функция переходит в софункцию: sin ↔ cos или tg ↔ ctg. Именно чётность числа добавленных половин π определяет, менять ли название.

Чтобы определить знак, сначала представь исходный угол на круге и найди его четверть. Затем воспользуйся знаками функций в этой четверти: в I четверти все четыре функции положительны, во II положительны sin и ctg, в III — tg и ctg, в IV — cos и ctg? Проверим: котангенс имеет знак отношения cos/sin, поэтому в IV четверти он отрицателен; положительны cos и tg отрицателен, значит в IV положителен только cos. Таким образом, в II четверти положителен только sin, в III положительны tg и ctg, в IV — cos. Знак относится к функции исходного угла, даже если после преобразования записана другая функция.

Знак перед α показывает, с какой стороны от кратного угла находится исходный угол, но сам по себе не задаёт знак результата. Сначала учти «плюс» или «минус» в аргументе и установи четверть; потом отдельно поставь знак функции. Например, в sin(π/2 + α) при остром α угол лежит во II четверти: значение положительно, и формула даёт cos α. А cos(π/2 + α) в той же четверти отрицателен и равен −sin α.

Работай в устойчивом порядке: выдели в аргументе часть, кратную π/2, и оставь угол α. Определи, чётное или нечётное число половин π выделено: в первом случае функция сохраняется, во втором меняется на софункцию. Затем найди четверть исходного угла и поставь знак; после этого запиши функцию от α. Такая последовательность помогает не смешать замену функции со знаком.

Формулы приведения для углов от π/2 до 2π

Найди в первом столбце нужный аргумент и прочитай равенство в столбце соответствующей функции. Таблица предполагает, что α — острый угол; тогда четверть исходного угла легко установить. Для других α сначала определи четверть исходного угла самостоятельно и проверь знак.

Разбор задач

Упростить выражение sin(π/2 − x)

Нужно распознать угол вида π/2 − x. Здесь кратная часть равна π/2, поэтому синус переходит в косинус. Знак зависит от того, в какой четверти находится π/2 − x; если x острый, угол лежит в I четверти и синус положителен.

1. Выделяем кратную часть π/2, оставшаяся часть — x.
2. Поскольку выделено нечётное число половин π, заменяем sin на cos.
3. Для острого x знак положительный, поэтому получаем sin(π/2 − x) = cos x.

Ответ: cos x.

Упростить выражение cos(π + α) + sin(3π/2 − α)

Преобразуй каждое слагаемое отдельно, чтобы не потерять знак. Первый угол имеет вид π + α: функция сохраняется, а косинус в третьей четверти отрицателен. Во втором угле выделена часть 3π/2, значит синус заменится косинусом; затем знак определяется для конкретной четверти.

1. cos(π + α) = −cos α, поскольку угол находится в третьей четверти при остром α.
2. sin(3π/2 − α) = −cos α: это софункция, а исходный угол лежит в третьей четверти.
3. Складываем: −cos α − cos α = −2cos α.

Ответ: −2cos α.

Вычислить sin(7π/6) и cos(5π/3), не используя калькулятор

Представь каждый угол как сумму или разность кратного π и острого угла. Так функция сведётся к sin(π/6) или cos(π/3), значения которых известны. Знак каждого результата проверяй по четверти исходного угла.

1. 7π/6 = π + π/6, поэтому sin(7π/6) = −sin(π/6) = −½.
2. 5π/3 = 2π − π/3, поэтому cos(5π/3) = cos(π/3) = ½.
3. Проверяем знаки: 7π/6 лежит в III четверти, где синус отрицателен; 5π/3 — в IV, где косинус положителен.

Ответ: sin(7π/6) = −½; cos(5π/3) = ½.

Типичные ошибки

Ошибка: менять синус на косинус при любом угле с кратной π/2 частью. Функции меняются местами только при нечётном числе π/2; при угле kπ название сохраняется. Проверка: посчитай, сколько половин π выделено, и выясни, чётное это число или нечётное.

Ошибка: выбирать знак по знаку α или по знаку перед α. Так делают, потому что ориентируются на запись, а не на положение угла на круге. Проверка: найди четверть исходного угла и используй знаки функций именно в ней.

Ошибка: заменить функцию, но забыть знак, например записать cos(π + α) = cos α. При добавлении π точка переходит в противоположную, поэтому обе координаты меняют знак. Проверка: подставь острый α и вспомни, что π + α лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен.

Ошибка: принять 7π/6 за π/6 и не учесть добавку π. Значение острого угла подходит для модуля функции, но добавление π может изменить знак. Проверка: запиши угол полностью как π + π/6, определи четверть и только потом применяй формулу.

Связь с другими темами

Для формул приведения нужно знать значения sin, cos, tg и ctg на тригонометрическом круге, а также знаки этих функций в четвертях. Поэтому перед преобразованием полезно уметь определить, где расположен угол, и какие функции там положительны.

Формулы приведения помогают упрощать тригонометрические выражения и вычислять значения углов, не лежащих в первой четверти. Они связаны с формулами сложения: обе темы позволяют преобразовывать аргументы и функции, чтобы получить удобное выражение. В дальнейшем эти приёмы используют вместе при решении более сложных задач.

Что запомнить

• При угле kπ ± α название функции сохраняется.
• При угле (2k+1)π/2 ± α функция заменяется на софункцию.
• Синус и косинус образуют пару софункций; тангенс и котангенс — другую пару.
• Знак результата определяется четвертью исходного угла.
• Сначала выдели угол α, затем определи функцию и знак.
• Формулы приведения позволяют свести вычисление к значениям функций острых углов.