"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Формулы двойного, тройного и половинного аргумента связывают значения тригонометрических функций при разных углах. С их помощью можно упростить выражение, вычислить синус или косинус без калькулятора и преобразовать квадраты функций. Главное — помнить сами формулы, следить за областью допустимых значений и правильно выбирать знак корня: для половинного аргумента он зависит от четверти, в которой находится угол α/2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы двойного аргумента — равенства, которые выражают sin 2α, cos 2α и tg 2α через тригонометрические функции угла α. Здесь α — произвольный угол, а 2α означает угол, вдвое больший. Эти формулы помогают заменить функцию от сложного угла выражением через функции от исходного.
Формулы тройного аргумента выражают sin 3α, cos 3α и tg 3α через функции угла α. Запись 3α означает, что угол увеличили в три раза. Такие равенства полезны, когда значение функции тройного угла нужно найти по известным значениям для α.
Формулы половинного аргумента связывают функции угла α/2 с функциями угла α. Для синуса и косинуса они содержат квадратный корень, перед которым возможны два знака. Нужный знак выбирают не наугад, а по четверти, в которой расположен угол α/2.
Формулы понижения степени заменяют sin² α и cos² α выражениями через cos 2α. Они позволяют превратить квадрат тригонометрической функции в выражение с функцией двойного угла. Это особенно удобно при упрощении выражений, где встречаются квадраты синуса или косинуса.
Формулы двойного аргумента получаются из формул сложения, если представить 2α как α + α. Например, синус суммы даёт sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α, поэтому получается 2 sin α cos α. Для косинуса суммы сначала выходит cos² α − sin² α. Затем основное тождество sin² α + cos² α = 1 позволяет переписать результат как 1 − 2 sin² α или 2 cos² α − 1.
Чтобы вывести формулы тройного аргумента, представляют 3α как 2α + α и применяют формулы сложения. В полученные выражения подставляют формулы для двойного угла, например sin 2α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos² α − sin² α. После упрощения выражение для синуса принимает вид 3 sin α − 4 sin³ α, а для косинуса — 4 cos³ α − 3 cos α. Так формулы для тройного угла возникают из уже знакомых формул, а не запоминаются отдельно как несвязанные правила.
Формулы половинного аргумента следуют из формулы косинуса двойного угла. Если в равенстве cos 2x = 1 − 2 sin² x положить x = α/2, то cos α = 1 − 2 sin²(α/2); отсюда sin²(α/2) = (1 − cos α)/2. Аналогично из cos 2x = 2 cos² x − 1 получается cos²(α/2) = (1 + cos α)/2. Чтобы перейти от квадратов к самим функциям, извлекают корень, поэтому перед ним нужно выбрать знак.
Знак в формулах для sin(α/2) и cos(α/2) определяется четвертью угла α/2: в каждой четверти заранее известно, какие функции положительны, а какие отрицательны. Значение cos α само по себе не всегда указывает нужную четверть для половинного угла, поэтому важно учитывать диапазон, в котором задан α. Например, если π < α < 3π/2, то π/2 < α/2 < 3π/4 и угол α/2 лежит во второй четверти. Там синус положителен, а косинус отрицателен.
Формулу для тангенса двойного или тройного угла можно получить делением формулы синуса на формулу косинуса. При этом деление допустимо только тогда, когда знаменатель не равен нулю, а исходные функции определены. Например, в формуле tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) нельзя использовать знаменатель 1 − tg² α, равный нулю. Проверка условий помогает не получить выражение, которое не имеет смысла для заданного угла.
| Функция | Двойной аргумент | Тройной аргумент | Половинный аргумент |
|---|---|---|---|
| Синус | sin 2α = 2 sin α cos α | sin 3α = 3 sin α − 4 sin³ α | sin²(α/2) = (1 − cos α)/2 |
| Косинус | cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1 | cos 3α = 4 cos³ α − 3 cos α | cos²(α/2) = (1 + cos α)/2 |
| Тангенс | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | tg 3α = (3 tg α − tg³ α) / (1 − 3 tg² α) | Отдельная формула для tg(α/2) здесь не приводится |
| Преобразование квадратов синуса и косинуса | sin² α = (1 − cos 2α)/2; cos² α = (1 + cos 2α)/2 | — | — |
Сначала определите, какой угол стоит в выражении: 2α, 3α или α/2, — и выберите соответствующий столбец. В формулах с тангенсом проверьте, что знаменатель не равен нулю и выражение определено. В формулах для половинного угла таблица даёт квадраты, поэтому при извлечении корня дополнительно определите четверть α/2.
В выражении перемножены синус и косинус одного угла, а перед произведением стоит коэффициент 2. Это именно те части, которые входят в формулу синуса двойного аргумента. Поэтому нет необходимости раскрывать или преобразовывать множители по отдельности.
Ответ: sin 2α.
В формулах тройного аргумента участвуют sin α и cos α, поэтому сначала найдём косинус. В первой четверти косинус положителен, и основное тождество позволяет получить cos α = 4/5. Теперь подставим оба значения в формулы тройного аргумента и аккуратно приведём дроби.
Ответ: sin 3α = 117/125, cos 3α = −44/125.
Условие показывает, что α находится в третьей четверти, но знаки функций половинного угла определяются по четверти самого угла α/2. Разделив границы неравенства на два, получим π/2 < α/2 < 3π/4, то есть вторую четверть. Значит, синус половинного угла положителен, а косинус отрицателен.
Ответ: sin(α/2) = 2√5/5, cos(α/2) = −√5/5.
В формуле cos 2α иногда оставляют только одну запись и не замечают, что выражение можно заменить двумя другими: cos² α − sin² α, 1 − 2 sin² α или 2 cos² α − 1. Путают формы, когда в задаче удобнее использовать именно квадрат синуса или косинуса. Для проверки преобразуйте одну запись через sin² α + cos² α = 1 и убедитесь, что она совпадает с другой.
При извлечении корня в формулах половинного аргумента иногда выбирают знак по значению cos α. Но знак требуется определить для sin(α/2) или cos(α/2), а их четверть не всегда совпадает с четвертью α. Сначала разделите границы для α на два и найдите четверть половинного угла; затем проверьте знак функции по этой четверти.
Формулу tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) нельзя применять, если 1 − tg² α = 0: деление на ноль не определено. Ошибка возникает, когда формулу подставляют механически и не проверяют знаменатель. Перед вычислением найдите его значение и убедитесь также, что tg α существует.
В формулах тройного аргумента легко перепутать коэффициенты или потерять множитель 4: sin 3α содержит член −4 sin³ α, а cos 3α — член 4 cos³ α. Это случается, если запоминают формулы без различения синуса и косинуса. Проверьте, что синусная формула начинается с 3 sin α, а косинусная — с 4 cos³ α, и при необходимости выведите их через формулы сложения.
Для вывода этих равенств нужны формулы сложения, основное тригонометрическое тождество и знаки тригонометрических функций в четвертях. Формулы двойного и тройного аргумента помогают упрощать выражения и находить значения функций без калькулятора. Формулы половинного аргумента применяют при решении тригонометрических уравнений и преобразовании выражений с корнями. А формулы понижения степени связывают квадраты функций с косинусом двойного угла.
Как вывести формулу косинуса двойного аргумента?
Представьте 2α как α + α и примените формулу косинуса суммы: cos(α + α) = cos² α − sin² α. Затем используйте sin² α + cos² α = 1, чтобы получить равносильные записи 1 − 2 sin² α и 2 cos² α − 1.
Почему у формул половинного аргумента бывают два знака?
Формулы дают квадрат синуса или косинуса, а извлечение квадратного корня возможно с плюсом или минусом. Какой знак подходит, определяют по знаку самой функции в четверти, где находится угол α/2.
Как выбрать знак в формуле sin(α/2)?
Сначала найдите четверть угла α/2, а затем определите знак синуса в этой четверти. Например, во второй четверти синус положителен, поэтому перед корнем берут плюс.
Можно ли выразить tg 2α через tg α?
Да: tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Формулой можно пользоваться, если знаменатель не равен нулю и исходные тангенсы определены.
Как понять, какую формулу использовать для sin 3α?
Если нужно выразить sin 3α через функции угла α, используйте формулу sin 3α = 3 sin α − 4 sin³ α. Она получается из формулы сложения для 2α + α и формул двойного аргумента.
5.2.3. Тригонометрические функции двойного, тройного и половинного аргумента
