"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Произведения и суммы синусов и косинусов можно заменять равными выражениями другого вида. Произведение превращают в сумму функций от суммы и разности аргументов, а сумму — в произведение функций от их полусуммы и полуразности. Такие преобразования помогают упрощать вычисления, доказывать тождества, находить общие множители и решать тригонометрические уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму — замена произведения синусов и косинусов суммой или разностью функций от суммы и разности аргументов. Например, произведение sin α cos β можно записать через sin(α + β) и sin(α − β). Это нужно, когда сумму слагаемых проще вычислить или объединить.
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение — замена суммы или разности синусов и косинусов произведением функций от полусуммы и полуразности аргументов. Так сумма sin α + sin β превращается в произведение двух множителей. Такой вид удобен для вынесения общего множителя и поиска нулей.
Аргументы тригонометрических функций — выражения, стоящие после названия функции: в sin(7x) аргументом является 7x. В формулах преобразования находят сумму и разность именно этих выражений. Ошибка в аргументе приводит к неверным результатам даже при правильном выборе формулы.
Формулы преобразования произведения и суммы — тождества, связывающие произведения и суммы синусов и косинусов. Тождество остаётся верным при всех допустимых значениях переменных. Формулы позволяют переходить от одной формы записи выражения к другой без изменения его значения.
Преобразования основаны на формулах синуса и косинуса суммы и разности. Например, sin(α + β) и sin(α − β) раскрываются через sin α, cos α, sin β и cos β. Если сложить эти равенства, смешанные слагаемые усилятся, а остальные сократятся: получится 2 sin α cos β, поэтому после деления на 2 возникает формула произведения.
В формулах произведения двух функций появляются аргументы α + β и α − β, потому что именно такие выражения возникают при сложении и вычитании исходных формул. Множитель ½ необходим для компенсации удвоения произведения. Например, сумма двух подходящих синусов равна не самому произведению, а 2 sin α cos β.
Формулы для суммы получают обратной заменой аргументов. Если взять u = (α + β)/2 и v = (α − β)/2, то u + v = α, а u − v = β. Поэтому формула произведения для u и v после подстановки даёт сумму функций с исходными аргументами, а множитель 2 появляется как обратный к ½.
Знаки зависят от сочетания функций и от того, складываем мы выражения или вычитаем их. Особенно легко ошибиться в формулах sin α sin β и cos α − cos β: в первой разность косинусов записывается в порядке cos(α − β) − cos(α + β), а во второй перед произведением синусов стоит минус. Выбор преобразования зависит от цели: произведение заменяют суммой для объединения слагаемых, а сумму — произведением для поиска общего множителя или нулей.
| Исходное выражение | Преобразование | Аргументы результата |
|---|---|---|
| sin α cos β | → ½[sin(α + β) + sin(α − β)] | α + β, α − β |
| cos α sin β | → ½[sin(α + β) − sin(α − β)] | α + β, α − β |
| cos α cos β | → ½[cos(α + β) + cos(α − β)] | α + β, α − β |
| sin α sin β | → ½[cos(α − β) − cos(α + β)] | α − β, α + β |
| sin α + sin β | → 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) | (α + β)/2, (α − β)/2 |
| sin α − sin β | → 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) | (α + β)/2, (α − β)/2 |
| cos α + cos β | → 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) | (α + β)/2, (α − β)/2 |
| cos α − cos β | → −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) | (α + β)/2, (α − β)/2 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, что стоит слева: произведение или сумма, а затем сопоставьте порядок функций с первой колонкой. После этого вычислите нужные сумму и разность аргументов или их половины, не забывая множитель ½ либо 2.
Если аргументы содержат x, скобки сохраняйте до конца вычислений. Например, разность 7x − 3x равна 4x, а полуразность двух аргументов равна (7x − 3x)/2, а не 7x − 3x/2.
Здесь дано произведение синуса и косинуса, поэтому подходит формула sin α cos β. Аргументы равны α = 7x и β = 3x; сначала найдём их сумму и разность.
Ответ: sin 7x cos 3x = ½(sin 10x + sin 4x).
Перед нами сумма косинусов, значит, применяем формулу cos α + cos β. Берём α = 5x и β = x и отдельно находим полусумму и полуразность, потому что именно они входят в результат.
Ответ: cos 5x + cos x = 2 cos 3x cos 2x.
В выражении есть произведение, которое можно превратить в сумму. После этого один из полученных членов совпадёт с −sin 7x, и слагаемые сократятся.
Ответ: sin 3x.
Путают знаки в формулах sin α sin β и cos α − cos β. Это происходит потому, что в обеих формулах участвуют разности косинусов или произведения синусов, но порядок и знак различаются. Проверьте формулу через раскрытие синуса или косинуса суммы и разности.
Забывают множитель ½ при переходе от произведения к сумме или множитель 2 при обратном переходе. Причина ошибки — внимание сосредоточено на аргументах, а коэффициент кажется второстепенным. После подстановки отдельно проверьте, какой переход выполняется: к сумме или к произведению.
Неверно находят полусумму и полуразность аргументов. Например, делят на 2 только один аргумент вместо всей скобки: (α + β)/2 нельзя заменять на α + β/2. Сначала заключайте сумму или разность в скобки и лишь затем делите результат на 2.
Меняют местами аргументы в разности и не меняют знак. При перестановке α и β выражение α − β превращается в −(α − β), что может изменить значение синуса или всего произведения. Записывайте разность в том порядке, который указан выбранной формулой.
Для работы с формулами нужны тождества синуса и косинуса суммы и разности, а также свойства чётности и нечётности функций. Они объясняют происхождение знаков и позволяют проверять преобразования.
Тема связывает тригонометрические тождества с общими приёмами преобразования выражений. После замены формы можно объединять подобные слагаемые, выносить множители и сокращать выражение.
Эти формулы применяются при доказательстве тождеств, решении тригонометрических уравнений и работе с выражениями, описывающими колебания. Выбор формы зависит от того, что нужно получить в конце.
Как понять, какую формулу преобразования выбрать?
Сначала определите вид выражения: произведение или сумма. Затем сравните функции с левой частью формул: например, sin α cos β преобразуется иначе, чем sin α sin β.
Почему при преобразовании произведения появляется множитель 1/2?
Формулы произведения получают сложением или вычитанием формул синуса и косинуса суммы и разности. При этом произведение оказывается равным половине полученной суммы, поэтому появляется множитель ½.
Почему в формулах суммы синусов и косинусов аргументы делятся пополам?
Обратные формулы получают из формул произведения, если обозначить новые аргументы через полусумму и полуразность исходных. Поэтому рядом с каждым аргументом стоит деление на 2.
Что делать, если аргументы записаны не буквами, а выражениями с x?
Считайте каждое выражение целиком аргументом функции. Отдельно найдите сумму и разность этих выражений, а затем подставьте результаты в нужную формулу.
Как проверить, правильно ли расставлены знаки в формуле?
Сверьте выбранную формулу с таблицей и при необходимости выведите её из формул синуса или косинуса суммы и разности. Можно также проверить результат на простых значениях аргументов, например α = β или α = 0.
5.2.4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и суммы в произведение
