§ 6. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

Определения и обозначения

Синус числа x — ордината точки единичной окружности, соответствующей углу x. Ордината — это вторая координата точки, то есть её координата по вертикальной оси. Записывают: sin x; синус нужен, чтобы по углу определить вертикальное положение точки.

Косинус числа x — абсцисса той же точки единичной окружности. Абсцисса — первая координата, измеряемая по горизонтальной оси. Обозначение cos x помогает находить горизонтальное положение точки и связывать угол с координатами.

Тангенс числа x — отношение синуса к косинусу: tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0. Сокращённая запись «tg» происходит от слова «тангенс». Эта функция позволяет сравнивать вертикальную и горизонтальную координаты точки.

Котангенс числа x — отношение косинуса к синусу: ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0. Обозначение «ctg» означает «котангенс». Котангенс обратен тангенсу там, где обе функции существуют.

Как это устроено

Единичная окружность имеет центр в начале координат и радиус 1. Числу x ставят в соответствие точку, полученную поворотом радиуса, направленного вправо, на угол x; положительное направление — против часовой стрелки. Если точка имеет координаты (a; b), то cos x = a, а sin x = b.

Любая точка единичной окружности находится на расстоянии 1 от начала координат, поэтому её координаты удовлетворяют a² + b² = 1. Подставляя a = cos x и b = sin x, получаем основное тригонометрическое тождество: sin² x + cos² x = 1. Кроме того, координаты точки не могут быть меньше −1 или больше 1, значит, −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1.

Тангенс появляется как отношение вертикальной координаты к горизонтальной: tg x = sin x / cos x. Если cos x = 0, деление невозможно, поэтому tg x не определён при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Котангенс строится наоборот, ctg x = cos x / sin x, и не существует при x = πk.

После поворота на 2π точка окружности возвращается в исходное положение, поэтому sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Поворот на π переводит точку в противоположную, обе координаты меняют знак, но их отношение не меняется: tg(x + π) = tg x и ctg(x + π) = ctg x. Поэтому периоды синуса и косинуса равны 2π, а тангенса и котангенса — π.

Симметрия окружности объясняет чётность функций: отражение точки относительно вертикальной оси сохраняет ординату и меняет знак абсциссы, поэтому sin(−x) = sin x? Нет: при отражении относительно оси Ox получаем sin(−x) = −sin x, а cos(−x) = cos x. Следовательно, синус, тангенс и котангенс нечётны, а косинус чётен. Знаки функций определяются координатами: синус положителен сверху, косинус — справа; в первой и третьей четвертях тангенс и котангенс положительны, во второй и четвёртой — отрицательны.

Основные свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

В таблице k принимает любые целые значения. Для тангенса и котангенса сначала проверяйте область определения, а затем используйте период, нули и остальные свойства.

Символ R обозначает множество всех действительных чисел. Интервалы значений синуса и косинуса показывают их ограниченность, а отсутствие границ у тангенса и котангенса означает, что они могут принимать сколь угодно большие по модулю значения.

Разбор задач

Задача 1

Найти sin x и cos x, если точка единичной окружности, соответствующая числу x, имеет координаты (−3/5; 4/5). Координаты уже даны в порядке «абсцисса; ордината». Поэтому достаточно сопоставить их с определениями функций.

1. Абсцисса точки равна −3/5.
2. Ордината точки равна 4/5.
3. По определениям cos x — абсцисса, а sin x — ордината.

Ответ: cos x = −3/5, sin x = 4/5.

Задача 2

Найти tg x и ctg x, если sin x = 3/5 и cos x = −4/5. Оба заданных числа ненулевые, значит, тангенс и котангенс определены. Подставим значения в соответствующие отношения, не меняя порядок числителя и знаменателя.

1. tg x = sin x / cos x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
2. ctg x = cos x / sin x = (−4/5)/(3/5) = −4/3.
3. Проверка: (−3/4) · (−4/3) = 1.

Ответ: tg x = −3/4, ctg x = −4/3.

Задача 3

Определить область определения и период функции y = tg(2x − π/3). Аргумент тангенса не должен равняться π/2 + πk. Период изменяется из-за множителя 2 перед x.

1. Исключаем значения, при которых 2x − π/3 = π/2 + πk.
2. Получаем 2x = 5π/6 + πk, поэтому x = 5π/12 + πk/2.
3. Значит, область определения: x ≠ 5π/12 + πk/2, k ∈ Z.
4. Базовый период tg u равен π; при u = 2x − π/3 период по x равен π/2.

Ответ: D(y) = {x ∈ R | x ≠ 5π/12 + πk/2, k ∈ Z}; период равен π/2.

Типичные ошибки

Забывают исключить нулевой знаменатель. Ошибка возникает, когда формулу воспринимают как обычное сокращение дроби и не проверяют область определения. Перед вычислением найдите, не равен ли cos x нулю для tg x или sin x нулю для ctg x.

Считают, что период тангенса равен 2π. Так происходит из-за переноса свойства синуса и косинуса на отношение. Проверьте напрямую: tg(x + π) = (−sin x)/(−cos x) = tg x.

Путают определения тангенса и котангенса. Причина — похожие названия и одинаковые числители с знаменателями. Запомните порядок: tg — sin делить на cos, ctg — cos делить на sin, а произведение при допустимых значениях равно 1.

Считают синус и косинус всегда положительными. На самом деле их знаки являются знаками координат точки и меняются при переходе в другую четверть. Проверьте положение точки: сверху ордината положительна, справа абсцисса положительна.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны единичная окружность, координаты точки и радианная мера угла. Эти знания объясняют, откуда берутся определения функций и их периоды.

Тема опирается на отношения и тождество sin² x + cos² x = 1. Позже синус, косинус и тангенс будут использоваться в тригонометрических уравнениях, преобразованиях графиков и при изучении производных.

Что запомнить

• sin x и cos x — координаты точки единичной окружности: сначала ордината, затем абсцисса.
• Для любого x выполняется sin² x + cos² x = 1.
• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• ctg x = cos x / sin x при sin x ≠ 0.
• Периоды sin x и cos x равны 2π.
• Периоды tg x и ctg x равны π.
• Знаки синуса и косинуса определяются знаками координат точки окружности.