§ 5. Числовая окружность на координатной плоскости

Определения и обозначения

Числовая окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат, на которой числа сопоставляются точкам. Её можно представить как шкалу, замкнутую в кольцо: каждому числу соответствует положение на окружности. Единичный радиус выбран так, чтобы длина дуги измерялась числом в радианах. Такая модель позволяет изображать числа не только на прямой, но и как направления и положения на плоскости.

Начальная точка числовой окружности — точка (1; 0), от которой отсчитывают движение. Она находится на положительной части горизонтальной оси, справа от начала координат. В этой точке начинается путь для любого числа, поэтому она задаёт общий ориентир. Если начинать в другом месте, значения чисел будут соответствовать уже иным точкам.

Положительное направление обхода — движение по окружности против часовой стрелки; отрицательное — по часовой стрелке. Эти направления закрепляют правило, в какую сторону двигаться от начальной точки. Знак числа указывает, какое из них выбрать. Благодаря этому одно и то же расстояние по дуге может вести в разные стороны.

Точка, соответствующая числу t, — точка окружности, в которую попадают, пройдя от начальной точки дугу длины |t| в направлении, заданном знаком числа. Вертикальные черты обозначают модуль: он показывает длину пути без учёта направления. Например, при t = −1 путь имеет длину 1, но проходит по часовой стрелке. Это определение помогает находить положение точки по числу и записывать числа для заданной точки.

Как это устроено

Окружность с центром в начале координат удобно связывает числа с точками плоскости, потому что её положение задаётся простыми координатами. Радиус 1 позволяет измерять дугу в радианах: численная величина дуги совпадает с величиной центрального угла в радианах. Если бы радиус был другим, для той же угловой меры длина дуги изменилась бы. Единичная окружность также хорошо сочетается с координатами: у точки числовой окружности абсцисса и ордината выражаются через косинус и синус.

Чтобы положение числа было однозначно определено, нужны точка старта и правило направления. Стартом служит (1; 0), а направление выбирают по знаку числа. Без начальной точки непонятно, откуда измерять дугу; без направления нельзя решить, с какой стороны от неё откладывать путь. Поэтому эти правила действуют вместе для всех чисел.

Модуль числа отвечает за пройденную длину, а знак — за сторону движения. Такое разделение удобно: например, числа 2 и −2 задают одинаковую длину пути, но ведут в противоположные стороны. Длина дуги на окружности радиуса 1 измеряется в тех же числовых единицах, что и радианная мера угла. Поэтому для числа t достаточно отложить дугу |t| и выбрать направление по его знаку.

Длина полного обхода равна длине окружности: 2πR, а при R = 1 это 2π. После такого обхода точка возвращается туда, откуда началось движение, поэтому прибавление или вычитание полного оборота не меняет результат. Так числа t, t + 2π, t − 2π и вообще t + 2πk, где k — целое число, соответствуют одной точке. Это свойство называется периодичностью сопоставления чисел точкам.

Чтобы отметить число, сначала оцените, какую долю полного оборота оно задаёт. Например, π/2 — четверть оборота, π — половина, а 3π/2 — три четверти; дробные части оборота располагают между известными направлениями. Если число больше 2π, выделите полные обороты: они возвращают к прежней точке, а оставшаяся часть задаёт новое положение. Для отрицательных значений ту же длину отсчитывают в противоположном направлении.

Числа и соответствующие им точки числовой окружности

Сначала найдите начальную точку, затем двигайтесь в указанную сторону на нужную долю оборота. Таблица показывает, что полный оборот возвращает к началу, а некоторые разные числа могут задавать одну точку. Последняя строка даёт общий способ записать все числа, соответствующие одной точке.

Разбор задач

1. Отметьте точки для чисел 0, π/2, π и 3π/2

Все четыре числа удобно рассматривать как части полного оборота 2π. Начнём с точки (1; 0) и будем двигаться против часовой стрелки, так как числа положительные. Разделение оборота на четыре равные части помогает не перепутать положения точек. Каждый шаг соответствует дуге длины π/2.

1. Для 0 не проходим дугу, поэтому остаёмся в начальной точке (1; 0).
2. Для π/2 проходим четверть оборота и попадаем в верхнюю точку (0; 1).
3. Для π проходим половину оборота и оказываемся слева, в точке (−1; 0).
4. Для 3π/2 проходим три четверти оборота и попадаем вниз, в точку (0; −1).

Ответ: 0 → (1; 0), π/2 → (0; 1), π → (−1; 0), 3π/2 → (0; −1).

2. Отметьте точки для −π/3 и 5π/3 и выясните, как они связаны

Одно число отрицательное, другое положительное, поэтому сначала важно соблюдать разные направления обхода. Сравнение с полным оборотом покажет, не описывают ли числа одну точку. Отрицательный путь в данном случае составляет одну шестую окружности по часовой стрелке. Для положительного числа можно отдельно увидеть остаток после полного оборота.

1. От точки (1; 0) для −π/3 пройдите по часовой стрелке на угол π/3. Точка окажется в нижней правой части окружности.
2. Представьте 5π/3 как 2π − π/3. Это почти полный положительный оборот, после которого до начальной точки не хватает π/3.
3. Следовательно, 5π/3 приводит к той же точке, что и обход на π/3 по часовой стрелке.
4. Проверьте числа: 5π/3 − (−π/3) = 2π, то есть они отличаются ровно на один полный оборот.

Ответ: числа −π/3 и 5π/3 соответствуют одной точке; эта точка имеет координаты (1/2; −√3/2).

3. Найдите числа из промежутка [−2π; 2π], которым соответствует точка (0; −1)

Точка (0; −1) — нижняя точка окружности. От начальной точки до неё можно пройти вниз на четверть оборота против часовой стрелки или на четверть оборота по часовой стрелке. Поэтому сначала найдём два ближайших значения, а затем проверим, какие их варианты с полными оборотами останутся в заданном промежутке. Границы промежутка включены, но сами числа −2π и 2π ведут в начальную, а не нижнюю точку.

1. Положительный обход до нижней точки равен 3π/2.
2. Отрицательный обход до той же точки равен −π/2.
3. Все подходящие числа имеют вид 3π/2 + 2πk, где k — целое число. При добавлении 2π или вычитании 2π получаем другие полные обороты.
4. Оставляем значения от −2π до 2π включительно: при k = 0 выходит 3π/2, при k = −1 — −π/2. Следующие значения уже лежат вне промежутка.

Ответ: −π/2 и 3π/2.

Типичные ошибки

Отсчёт иногда начинают от точки пересечения окружности с вертикальной осью, например от (0; 1). Так происходит, если ориентироваться на привычный вид координатных осей, забывая установленное начало отсчёта. Тогда все найденные положения смещаются. Проверка: число 0 обязано соответствовать точке (1; 0).

Положительное направление могут ошибочно принять за движение по часовой стрелке. Вероятная причина — смешение правила числовой окружности с произвольным направлением вращения. В результате точка для положительного числа окажется не там, где нужно. Проверьте себя на π/2: при движении против часовой стрелки она ведёт вверх, в (0; 1).

Ещё одна ошибка — считать, что числу соответствует только одна запись и не учитывать полные обороты. Например, 0 и 2π выглядят как разные числа, но после одного полного обхода путь заканчивается в начальной точке. Чтобы проверить ответ, вычислите разность чисел: если она равна 2πk при целом k, точка одна и та же. Поэтому для одной точки записывают целую серию чисел.

При отрицательном числе иногда идут против часовой стрелки, воспринимая знак как указание лишь на длину. Но длина уже задаётся модулем, а знак определяет направление. Например, −π/2 ведёт вниз по часовой стрелке, а не вверх. Перед отметкой разделите задачу на два вопроса: какова длина |t| и в какую сторону указывает знак.

Связь с другими темами

Для работы с числовой окружностью нужны знания координатной плоскости, координат точек и длины окружности. Координаты помогают записать положение найденной точки, а формула длины объясняет полный обход 2π. На этой основе определяют синус и косинус числа: они связаны с координатами точки окружности. Повторение значений через 2π становится ключом к периодичности тригонометрических функций и помогает решать простейшие тригонометрические уравнения.

Что запомнить

• Числовая окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат.
• Отсчёт начинается в точке (1; 0).
• Положительным считается движение против часовой стрелки.
• Отрицательным считается движение по часовой стрелке.
• Числу t соответствует дуга длины |t|.
• Полный оборот равен 2π.
• Числа t и t + 2πk соответствуют одной точке при любом целом k.