"Математика (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
В этом параграфе мы рассмотрим, как изменяются графики тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) под воздействием различных преобразований. Мы научимся изменять положение графиков в системе координат, растягивать или сжимать их, а также влиять на их период. Эти преобразования позволяют строить графики сложных функций, используя известные графики базовых тригонометрических функций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сдвиг графика – это перемещение графика функции вдоль осей координат без изменения его формы. Сдвиг вдоль оси Ox достигается заменой x на (x-a), где 'a' определяет величину и направление сдвига. Это необходимо для построения графиков функций, связанных с исходной функцией сдвигом аргумента.
Сдвиг графика вдоль оси Oy производится добавлением константы к функции, то есть замена f(x) на f(x) + a. Прибавление константы сдвигает график вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Это важно, так как умножение функции на константу изменило бы ее форму, а не только положение.
Растяжение/сжатие графика вдоль оси Oy происходит при умножении функции на число k. Если |k| > 1, график растягивается по вертикали, если 0 < |k| < 1, то график сжимается. Этот преобразование позволяет модифицировать масштаб функции.
Изменение периода тригонометрической функции происходит при умножении аргумента на число k. Период новой функции y = f(kx) изменяется и становится равным T' = T/|k|, где T – период исходной функции. Такое преобразование изменяет частоту колебаний функции.
Сдвиг графика вдоль оси Ox осуществляется заменой x на (x-a) не случайно. Это означает, что каждая точка (x, y) на исходном графике y = f(x) перемещается в точку (x+a, y) на новом графике y = f(x-a). Если a > 0, то сдвиг происходит вправо, а если a < 0 – влево. Рассмотрим, например, функцию y = sin(x). Замена x на (x - π/2) смещает график вправо на π/2 единиц, и мы получаем график y = sin(x - π/2), который эквивалентен графику y = cos(x).
Сдвиг графика вдоль оси Oy осуществляется добавлением константы к функции. Добавление константы 'a' к функции f(x) означает, что y-координата каждой точки графика смещается на 'a' единиц: (x, y) -> (x, y+a). Именно прибавление или вычитание, а не умножение, обеспечивает параллельный сдвиг графика без изменения его формы. Умножение на константу изменило бы наклон графика и его масштаб.
Влияние коэффициента k на растяжение/сжатие графика по оси Oy связано с изменением ординат точек графика. Когда |k| > 1, график растягивается в |k| раз по вертикали, так как все y-координаты умножаются на |k|. Если 0 < |k| < 1, график сжимается в |k| раз по вертикали. Важно понимать, что растяжение увеличивает расстояние между точками графика по оси Oy, а сжатие уменьшает это расстояние.
Изменение коэффициента перед x влияет на период функции y = f(kx) за счет изменения скорости прохождения аргумента через полный цикл. Увеличение коэффициента k сжимает график по оси Ox, уменьшая период, а уменьшение коэффициента k растягивает график, увеличивая период. Связь между периодом и коэффициентом выражается формулой T' = T/|k|, где T' – период новой функции, T – период исходной функции. Это можно представить себе как ускорение или замедление колебаний функции.
Преобразования графиков тригонометрических функций – это последовательное применение элементарных преобразований: сдвигов, растяжений/сжатий и изменения периода. Порядок преобразований важен в некоторых случаях, но часто они коммутируют. Например, сдвиг и растяжение обычно можно выполнять в любом порядке, однако при последовательном применении нескольких преобразований важно учитывать их взаимное влияние.
| Преобразование | y = f(x) -> y = f(x+a) | y = f(x) -> y = f(x) + a | y = f(x) -> y = k*f(x) | y = f(x) -> y = f(kx) |
|---|---|---|---|---|
| Действие | Сдвиг влево на |a| | Сдвиг вверх на |a| | Растяжение/сжатие по вертикали | Сжатие/растяжение по горизонтали |
| При a > 0 | Сдвиг влево | Сдвиг вверх | Растяжение, если |k| > 1; сжатие, если 0 < |k| < 1 | Сжатие, если |k| > 1; растяжение, если 0 < |k| < 1 |
| При a < 0 | Сдвиг вправо | Сдвиг вниз | То же самое | То же самое |
| Период | Не меняется | Не меняется | Не меняется | Изменяется: T' = T/|k| |
Эта таблица обобщает основные преобразования графиков тригонометрических функций. Она позволяет быстро определить, какое преобразование применяется к графику функции и как оно влияет на его вид и положение.
Задача 1: Постройте график функции y = sin(x - π/2).
Ответ: График функции y = sin(x - π/2) представляет собой график функции y = cos(x).
Задача 2: Постройте график функции y = 2cos(x).
Ответ: График функции y = 2cos(x) представляет собой график функции y = cos(x), растянутый в 2 раза по оси Oy.
Задача 3: Постройте график функции y = cos(2x).
Ответ: График функции y = cos(2x) представляет собой график функции y = cos(x), сжатый в 2 раза по оси Ox.
Путаница в знаках при сдвиге графика по оси Ox: Многие ученики ошибочно считают, что замена x на (x-a) сдвигает график влево, в то время как на самом деле происходит сдвиг вправо на 'a' единиц. Чтобы избежать ошибки, всегда проверяйте, в какую сторону сдвигается график, подставляя в уравнение какую-нибудь точку.
Неправильное понимание влияния коэффициента k на растяжение/сжатие: Часто возникает путаница с определением, когда график растягивается, а когда сжимается. Важно помнить, что если |k| > 1, то график растягивается, а если 0 < |k| < 1, то график сжимается. Проверьте себя, представив, что происходит с y-координатами точек графика.
Забывание об изменении периода при умножении аргумента на число: Ученики часто забывают учесть изменение периода функции при умножении аргумента на число, строя график только на обычном интервале. Важно помнить, что период новой функции отличается от периода исходной функции и вычисляется по формуле T’ = T/|k|.
Попытка применить свойства преобразований к областей определения и множества значений, не учитывая изменения в аргументе и значении функции:
Основные тригонометрические функции: Понимание графиков и свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса является основой для изучения преобразований графиков. Преобразования позволяют строить графики более сложных тригонометрических функций, используя базовые графики.
Преобразование функций в общем виде: Изученные в этом параграфе преобразования являются частными случаями общих преобразований функций, таких как дифференцирование, интегрирование и композиция функций. Понимание этих общих принципов поможет лучше усвоить материал.
Что будет, если в аргументе функции стоит отрицательное число?
Если в аргументе функции стоит отрицательное число, то график будет сдвигаться вправо. Например, график функции y = sin(x - a), где a > 0, сдвинут вправо на a единиц по сравнению с графиком y = sin(x). Это связано с тем, что для получения тех же значений функции аргумент должен быть меньше.
Как определить период преобразованной функции?
Период функции y = f(kx) определяется как T' = T/|k|, где T — период исходной функции y = f(x), а k — коэффициент, на который умножен аргумент. Если аргумент не умножен на число, период остается прежним.
Всегда ли можно применить преобразования для построения графика любой функции?
Преобразования, рассмотренные в параграфе, применимы к функциям, которые можно получить из базовых тригонометрических функций посредством сдвигов, растяжений, сжатий и изменения периода. Для более сложных функций могут потребоваться другие методы.
Может ли одна и та же функция быть получена разными преобразованиями?
Да, одна и та же функция может быть получена разными последовательностями преобразований. Порядок некоторых преобразований может не иметь значения, но в целом, разные комбинации сдвигов, растяжений и сжатий могут привести к одному и тому же результату.
Как преобразования влияют на точки экстремума функции?
Преобразования сохраняют относительное положение точек экстремума, но изменяют их координаты. Сдвиги переносят точки экстремума, а растяжения и сжатия изменяют их значения по оси Oy. Изменение периода также влияет на расположение экстремумов.
§ 13. Преобразования графиков тригонометрических функций
