"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Формулы двойного аргумента связывают значения тригонометрических функций угла 2α со значениями функций угла α. Они помогают вычислять синус, косинус и тангенс удвоенного угла, упрощать выражения и доказывать тождества. Главные формулы: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos² α − sin² α и tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). У косинуса есть ещё две равносильные формы, а при применении формулы тангенса нужно проверять, что выражение определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула синуса двойного аргумента имеет вид sin 2α = 2 sin α cos α. Двойным аргументом называют угол 2α: его величина вдвое больше α, а не значение синуса, умноженное на два. Формула нужна, чтобы вычислить синус удвоенного угла, зная синус и косинус исходного угла.
Формула косинуса двойного аргумента записывается так: cos 2α = cos² α − sin² α. Её также можно представить в двух равносильных видах: cos 2α = 2 cos² α − 1 и cos 2α = 1 − 2 sin² α. Эти варианты помогают выбрать для вычисления ту функцию угла α, значение которой известно.
Формула тангенса двойного аргумента: tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α). Она связывает тангенс угла 2α с тангенсом угла α и удобна, когда известен последний. Формулу можно применять, только если tg α существует и знаменатель 1 − tg² α не равен нулю: иначе правая часть не определена.
Формулы двойного аргумента получаются из формул суммы, потому что 2α можно представить как α + α. В формуле sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β положим β = α. Тогда каждый член содержит произведение sin α и cos α, и сумма двух одинаковых произведений даёт sin 2α = 2 sin α cos α. Так видно, откуда берутся и множитель 2, и cos α.
Для косинуса подставляем β = α в формулу cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Получаем cos 2α = cos² α − sin² α: произведение косинусов и произведение синусов становятся квадратами. Чтобы получить другие записи, используем sin² α + cos² α = 1. Заменив sin² α на 1 − cos² α, получим 2 cos² α − 1; заменив cos² α на 1 − sin² α, получим 1 − 2 sin² α.
Тангенс — это отношение синуса к косинусу, поэтому tg 2α = sin 2α / cos 2α, если cos 2α ≠ 0. Подставим формулы двойного аргумента и разделим числитель и знаменатель на cos² α: выйдет 2 tg α / (1 − tg² α). Для таких преобразований необходимо cos α ≠ 0, иначе tg α не существует; знаменатель также должен быть ненулевым. Условие 1 − tg² α ≠ 0 означает, что tg² α ≠ 1, и одновременно гарантирует cos 2α ≠ 0.
Форму косинуса выбирают по тому, какое значение уже известно: при известном cos α обычно удобна запись 2 cos² α − 1, а при известном sin α — 1 − 2 sin² α. Тогда не требуется сначала находить вторую функцию, а вероятность ошибки при извлечении корня меньше. Если известны обе функции или выражение содержит сразу их квадраты, можно использовать cos² α − sin² α. Смысл у всех трёх записей один и тот же.
Формулы позволяют находить значения выражений с удвоенным углом и заменять их выражениями через функции исходного угла. Например, если дан sin α и нужна величина cos 2α, можно сразу применить форму 1 − 2 sin² α. При упрощении выражения, наоборот, узнаваемую комбинацию заменяют одной функцией от двойного аргумента. Так выражение приводится к более удобному виду для дальнейших вычислений или доказательства тождества.
| Функция | Формула | Равносильная запись или условие |
|---|---|---|
| Синус двойного аргумента | sin 2α = 2 sin α cos α | Для всех α |
| Косинус двойного аргумента | cos 2α = cos² α − sin² α | Основная запись |
| Косинус через квадрат косинуса | cos 2α = 2 cos² α − 1 | Удобна, если известен cos α |
| Косинус через квадрат синуса | cos 2α = 1 − 2 sin² α | Удобна, если известен sin α |
| Тангенс двойного аргумента и условие применимости | tg 2α = 2 tg α / (1 − tg² α) | tg α существует и 1 − tg² α ≠ 0 |
Сначала найди в таблице нужную функцию и проверь, какие значения известны в условии. Для косинуса выбери равносильную запись с известной функцией, а для тангенса обязательно проверь условие в правом столбце. Если условие не выполнено, формула с тангенсами неприменима.
Задача 1. Найти sin 2α, если sin α = 3/5 и α — угол первой четверти. Нужно применить формулу синуса двойного аргумента, но в ней есть и cos α. В первой четверти косинус положителен, поэтому после нахождения его значения можно подставить оба числа в формулу.
Ответ: sin 2α = 24/25. Знак косинуса здесь выбирается по четверти; без указания четверти одного значения синуса могло бы быть недостаточно для выбора знака cos α.
Задача 2. Упростить выражение 1 − 2 sin² x. Сначала сопоставим его с формулами косинуса двойного аргумента: нужная форма должна содержать квадрат синуса и единицу. Это позволяет обойтись без дополнительного преобразования самого x.
Ответ: cos 2x. Здесь x — исходный угол, а 2x — аргумент косинуса; выражение не является квадратом синуса.
Задача 3. Найти tg 2α, если tg α = 2, и проверить, определено ли полученное значение. Достаточно подставить известный тангенс в формулу двойного аргумента, но перед этим надо проверить знаменатель. Если он окажется нулём, формула не даст определённого значения.
Ответ: tg 2α = −4/3, значение определено. Такая проверка нужна, потому что одной подстановки в дробь недостаточно: у выражения должны существовать и числитель, и знаменатель.
Ошибка: записывать sin 2α = 2 sin α и забывать множитель cos α. Её допускают, когда запоминают только появление двойки, но не вывод из формулы синуса суммы. Проверяй себя подстановкой β = α в sin(α + β): слагаемых два, и в каждом есть множитель cos α.
Ошибка: пользоваться только записью cos 2α = cos² α − sin² α и не замечать более удобные формы. Из-за этого иногда начинают находить неизвестную функцию, хотя в условии уже дан нужный синус или косинус. Сверь условие с формами 2 cos² α − 1 и 1 − 2 sin² α и выбери ту, где известная функция стоит в квадрате.
Ошибка: применять формулу тангенса при tg² α = 1. Тогда знаменатель 1 − tg² α равен нулю, и полученное выражение не определено, даже если попытаться выполнить остальные вычисления. Перед делением отдельно вычисли знаменатель; если он равен нулю, формулу в таком виде применять нельзя.
Ошибка: путать удвоение аргумента с возведением значения функции в квадрат. В sin 2α число 2 относится к углу, а в sin² α возводится в квадрат значение sin α. Чтобы проверить запись, мысленно расставь скобки: sin 2α = sin(2α), а sin² α = (sin α)².
Для вывода формул двойного аргумента нужны формулы синуса и косинуса суммы, а также основное тождество sin² α + cos² α = 1. Поэтому, если вывод или преобразование непонятны, полезно сначала вспомнить эти равенства и условия, при которых определён тангенс. Новые формулы продолжают работу с тригонометрическими тождествами: они позволяют менять форму выражений, не меняя их значения. Позже они пригодятся при упрощении выражений, доказательстве тождеств и решении тригонометрических уравнений.
Почему в формуле sin 2α появляется множитель cos α?
Формулу получают из синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Если положить β = α, оба слагаемых становятся одинаковыми, поэтому получается 2 sin α cos α.
Чем отличаются три записи формулы cos 2α и какую выбрать?
Это равносильные записи одного значения: cos² α − sin² α, 2 cos² α − 1 и 1 − 2 sin² α. Выбирай форму, в которой используется известный синус или косинус: так подстановка будет проще.
При каких значениях α можно применять формулу tg 2α?
Для записи через tg α нужно, чтобы tg α существовал и знаменатель 1 − tg² α не был равен нулю. Поэтому cos α ≠ 0 и tg² α ≠ 1; кроме того, это обеспечивает существование tg 2α.
Можно ли найти cos 2α, зная только sin α?
Да: используй формулу cos 2α = 1 − 2 sin² α и подставь известное значение синуса. При этом не нужно отдельно определять, в какой четверти находится α.
Как отличить sin 2α от sin² α?
В записи sin 2α число 2 умножает угол: это синус угла 2α. В записи sin² α квадрат относится к значению функции: sin² α = (sin α)².
§ 21. Формулы двойного аргумента
