"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Сумму или разность синусов и косинусов можно заменить произведением, не меняя значения выражения. Для этого используют четыре формулы с полусуммой и полуразностью аргументов. Они помогают упрощать выражения, находить значения тригонометрических сумм и переходить к решению уравнений. Главное — не путать множители и знаки: у разности косинусов перед произведением синусов стоит минус.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование суммы тригонометрических функций — замена суммы или разности синусов и косинусов произведением без изменения её значения. Например, sin α + sin β можно записать как произведение двух функций. Такое преобразование нужно, когда с произведением удобнее вычислять выражение или решать уравнение.
Полусумма аргументов — выражение (α + β)/2. Она показывает середину между двумя аргументами и входит в формулу как часть одного из множителей. Чтобы не перепутать её с другим выражением, сначала складывают аргументы, а уже потом делят результат на два.
Полуразность аргументов — выражение (α − β)/2. Порядок вычитания здесь важен: обычно из первого аргумента вычитают второй. Полуразность определяет второй множитель произведения и помогает сохранить правильный знак при преобразовании.
Формулы преобразования сумм и разностей — четыре тождества, которые переводят сумму или разность синусов либо косинусов в произведение. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях аргументов. Эти формулы позволяют выбрать нужную замену по виду исходного выражения.
Формулы преобразования возникают из формул сложения синуса и косинуса. Чтобы увидеть связь, удобно обозначить полусумму через u = (α + β)/2, а полуразность через v = (α − β)/2. Тогда α = u + v, а β = u − v: оба аргумента выражены через одни и те же u и v. Подстановка этих выражений в sin α, sin β, cos α и cos β приводит к формулам нужного вида.
В каждой формуле участвуют и полусумма, и полуразность, потому что они вместе полностью задают исходные аргументы. Действительно, складывая u + v и u − v, получаем α, а вычитая — β. Поэтому удобный порядок действий такой: сначала найти α + β и α − β, затем разделить оба результата на два и расставить их по формуле.
При сложении синусов получается 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2). Это связано с тем, что при сложении выражений sin(u + v) и sin(u − v) части с sin v сокращаются, а части с sin u складываются. При вычитании синусов, наоборот, части с sin u сокращаются и остаётся произведение 2 cos u sin v. Поэтому сумма и разность синусов дают разные сочетания функций в множителях.
Для суммы косинусов результатом становится 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2): при сложении cos(u + v) и cos(u − v) слагаемые с cos u сохраняются, а слагаемые с sin u сокращаются. При вычитании косинусов остаётся произведение синусов. Знак перед ним отрицательный, поскольку соответствующие слагаемые при вычитании дают −2 sin u sin v. Именно поэтому в этой формуле нельзя терять минус.
Формулы можно применять и в обратную сторону: произведение раскрывать в сумму, если так проще продолжить вычисление. Выбор направления зависит от задачи: сумма часто удобна для вычисления, а произведение — для поиска нулей. Например, у произведения ноль тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. При преобразованиях уравнений следите, чтобы замена оставалась равносильной: сокращение на выражение, которое может обратиться в ноль, требует отдельной проверки.
| Исходное выражение | Преобразование | Особенность знака и множителей |
|---|---|---|
| sin α + sin β | 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2) | Синус полусуммы, косинус полуразности; множитель 2 |
| sin α − sin β | 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2) | Косинус полусуммы, синус полуразности; множитель 2 |
| cos α + cos β | 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2) | Оба множителя — косинусы; множитель 2 |
| cos α − cos β | −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2) | Оба множителя — синусы; перед произведением стоит минус |
Найдите в таблице строку, которая совпадает с исходным выражением по функции и знаку. Затем вычислите полусумму и полуразность аргументов, не меняя их порядок, и подставьте их в соответствующие множители. Перед окончательной записью проверьте коэффициент 2 и знак.
Слагаемые являются синусами, а между ними стоит плюс, поэтому подходит формула суммы синусов. После преобразования останется вычислить синус полусуммы и косинус полуразности. Углы заданы в градусах, значит и промежуточные значения считаем в градусах.
Находим полусумму: (75° + 15°)/2 = 45°. Полуразность равна (75° − 15°)/2 = 30°.
Подставляем результаты в формулу: sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30°. Это сводит вычисление к стандартным значениям тригонометрических функций.
Используем sin 45° = √2/2 и cos 30° = √3/2. Получаем 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2.
Ответ: √6/2.
Здесь складываются косинусы, значит, выбираем формулу суммы косинусов. Аргументы — 5x и x, поэтому складывать и вычитать нужно именно эти выражения, а затем делить результаты на два. В получившемся произведении каждый множитель будет косинусом.
Находим полусумму: (5x + x)/2 = 3x. Полуразность равна (5x − x)/2 = 2x.
Применяем формулу cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2). Получаем cos 5x + cos x = 2 cos 3x cos 2x.
Ответ: 2 cos 3x cos 2x.
Преобразование суммы синусов удобно тем, что уравнение станет произведением, равным нулю. Тогда можно отдельно рассмотреть нули каждого множителя и объединить полученные значения. После этого необходимо оставить только корни, принадлежащие отрезку [0; 2π].
Полусумма аргументов равна (5x + x)/2 = 3x, полуразность — (5x − x)/2 = 2x. По формуле суммы синусов получаем 2 sin 3x cos 2x = 0.
Произведение равно нулю, если sin 3x = 0 или cos 2x = 0. В первом случае 3x = πn, поэтому x = πn/3; на отрезке это n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Во втором случае 2x = π/2 + πn, поэтому x = π/4 + πn/2. На заданный отрезок попадают π/4, 3π/4, 5π/4 и 7π/4. Объединяем оба набора, не считая возможные совпадения дважды.
Ответ: x = πn/3, где n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, или x ∈ {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}.
Полусумму и полуразность путают, когда сразу подставляют аргументы и не записывают отдельно α + β и α − β. Ошибка кажется незаметной, потому что выражения похожи, но в результате меняются множители. Проверяйте себя: после вычисления полусуммы и полуразности их сумма должна дать α, а разность — β.
Иногда перед произведением пропускают множитель 2. Так происходит, если запоминают только названия функций в множителях и не восстанавливают формулу целиком. Сверьте запись с таблицей или подставьте α = β в формулу суммы: левая часть равна 2 sin α либо 2 cos α, что подтверждает наличие коэффициента 2.
В формуле cos α − cos β могут забыть минус перед произведением синусов. Это случается, когда формулу разности косинусов по аналогии переносят с формулы разности синусов. Проверяйте знак подстановкой α = 0, β = π: левая часть равна 2, а выражение 2 sin(π/2) sin(−π/2) равно −2, поэтому перед произведением необходим минус.
При сокращении выражения могут разделить обе части уравнения на множитель, не проверив, может ли он быть нулём. Тогда теряются решения, соответствующие нулю этого множителя. Перед сокращением найдите его нули и разберите их отдельно; только после этого рассматривайте случай, когда множитель не равен нулю.
Для вывода формул нужны формулы сложения синуса и косинуса, а при вычислениях — знания тригонометрических значений и умение выполнять действия с выражениями. Эти преобразования помогают упрощать тригонометрические выражения и доказывать тождества, выбирая между суммой и произведением более удобный вид. При решении уравнений переход к произведению позволяет применить правило нулевого произведения; тот же приём используют при работе с тригонометрическими неравенствами.
Как понять, какую из четырёх формул нужно выбрать?
Сначала определите, какие функции стоят в выражении: синусы или косинусы, а затем — сумма это или разность. Сопоставьте выражение с левой частью одной из четырёх формул. Например, для cos α + cos β нужна формула суммы косинусов.
Почему в формуле разности косинусов появляется знак «минус»?
Это следует из формул сложения косинуса: при вычитании значения слагаемых складываются с противоположными знаками. В итоге cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2). Проверить знак можно, например, при α = β: левая часть равна нулю, а при перестановке аргументов знак результата должен измениться.
Можно ли применять эти формулы, если аргументы заданы в радианах?
Да. Формулы верны и для градусов, и для радиан, если все аргументы записаны в одной и той же единице измерения. При вычислениях в радианах полусумму и полуразность также находят в радианах.
Как преобразовать произведение тригонометрических функций обратно в сумму?
Используйте те же тождества в обратном направлении, предварительно сопоставив множители с формулой. Например, 2 sin u cos v = sin(u + v) + sin(u − v). Если перед произведением стоит другой коэффициент или есть минус, сначала учитывайте их.
Почему при сокращении множителя нужно проверять область допустимых значений?
Сокращать можно только при условии, что множитель не равен нулю. Если он обращается в ноль, сокращение может удалить решения уравнения или привести к неверному равносильному преобразованию. Поэтому сначала отдельно рассматривают случай, когда этот множитель равен нулю.
§ 22. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения
