"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Произведение синусов и косинусов можно заменить суммой или разностью функций от суммы и разности аргументов. Такие формулы помогают упростить тригонометрические выражения и вычислить их значения, когда произведение преобразовать удобнее, чем работать с ним напрямую. Для выбора правила достаточно определить тип множителей: два синуса, два косинуса или синус с косинусом. Во всех формулах появляется множитель ½, а знаки зависят от вида произведения и порядка аргументов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование произведения в сумму — это замена произведения тригонометрических функций суммой или разностью тригонометрических функций. Аргументы при этом складывают и вычитают, а сами множители исчезают из записи. Такой приём нужен, когда сумму функций проще упростить или вычислить, чем исходное произведение.
Формула произведения синусов выражает sin α · sin β через косинусы разности и суммы аргументов: sin α · sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. Буквы α и β обозначают любые углы или выражения, которые стоят в аргументах. Формула позволяет заменить пару синусов двумя косинусами.
Формула произведения косинусов задаёт равенство cos α · cos β = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]. Здесь результат тоже состоит из косинусов, но между ними стоит знак плюс. Это правило удобно применять, когда в выражении перемножаются два косинуса.
Формула произведения синуса и косинуса выражает смешанное произведение через синусы суммы и разности аргументов. Например, sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)], а при перестановке множителей cos α · sin β = ½[sin(α + β) − sin(α − β)]. Эти записи помогают не перепутать знак, зависящий от порядка синуса и косинуса.
Формулы преобразования произведений следуют из уже знакомых формул синуса и косинуса суммы и разности. Например, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, а sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β. Если сложить эти равенства, слагаемые cos α sin β с противоположными знаками уничтожатся, а два одинаковых слагаемых sin α cos β сложатся.
Получается sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β. Чтобы выразить произведение, делим обе части равенства на 2, и выходит формула sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Если вычесть второе равенство из первого, то члены с sin α cos β сократятся, а оставшиеся дадут 2 cos α sin β. Так возникает формула для cos α · sin β, где перед синусом разности стоит минус.
Для произведений косинусов используем равенства cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β и cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Их сложение удваивает cos α cos β: слагаемые с sin α sin β имеют противоположные знаки и сокращаются. После деления на 2 получается формула произведения косинусов с плюсом между косинусами разности и суммы.
Если вычесть формулу для cos(α + β) из формулы для cos(α − β), слагаемые cos α cos β исчезнут. Оставшаяся разность равна 2 sin α sin β, поэтому sin α · sin β = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]. Так объясняется минус именно в формуле произведения синусов. Во всех четырёх формулах множитель ½ появляется по одной причине: при сложении или вычитании равенств произведение удваивается, и это удвоение нужно устранить делением на 2.
Выбирайте формулу по двум множителям: одинаковые тригонометрические функции приводят к косинусам, разные — к синусам. Затем вместо α и β подставьте аргументы произведения, вычислите их сумму и разность и внимательно сохраните знаки. Если появились одинаковые слагаемые, приведите их; при необходимости используйте cos(−t) = cos t и sin(−t) = −sin t.
| Произведение | Преобразование |
|---|---|
| sin α · sin β | ½[cos(α − β) − cos(α + β)] |
| cos α · cos β | ½[cos(α − β) + cos(α + β)] |
| sin α · cos β | ½[sin(α + β) + sin(α − β)] |
| cos α · sin β | ½[sin(α + β) − sin(α − β)] |
Сначала сопоставьте множители в выражении с левым столбцом, затем подставьте их аргументы вместо α и β. После подстановки отдельно упростите аргументы в скобках и проверьте знак по нужной строке. Если порядок синуса и косинуса отличается, используйте соответствующую формулу, а не меняйте знак наугад.
Определяем тип произведения: синус умножен на косинус. Значит, применяем формулу sin α · cos β = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]. Здесь α = 3x, β = x.
Подставляем аргументы: sin 3x · cos x = ½[sin(3x + x) + sin(3x − x)]. Скобки относятся к аргументам синусов, поэтому сначала выполняем сложение и вычитание однотипных слагаемых.
Упрощаем: 3x + x = 4x, а 3x − x = 2x. Получаем ½(sin 4x + sin 2x), то есть сумму двух синусов с общим множителем.
Ответ: sin 3x · cos x = ½(sin 4x + sin 2x).
Первое произведение состоит из косинусов, второе — из синусов. Преобразуем их по отдельности: cos 5x · cos 2x = ½[cos(3x) + cos(7x)], а sin 5x · sin 2x = ½[cos(3x) − cos(7x)].
Во втором произведении перед нами стоит знак минус, поэтому вычитаем всю полученную скобку: ½[cos 3x + cos 7x] − ½[cos 3x − cos 7x]. Скобки важны: при раскрытии второй скобки знаки внутри меняются.
Приводим подобные слагаемые: ½ cos 3x − ½ cos 3x = 0, а ½ cos 7x + ½ cos 7x = cos 7x. Косинусы разности сокращаются, а косинусы суммы складываются.
Ответ: cos 5x · cos 2x − sin 5x · sin 2x = cos 7x.
Первое произведение преобразуем по формуле синуса на косинус: sin 7x · cos 3x = ½[sin 10x + sin 4x]. Во втором произведении косинус стоит первым, поэтому используем формулу cos α · sin β = ½[sin(α + β) − sin(α − β)].
Получаем cos 7x · sin 3x = ½[sin 10x − sin 4x]. Складываем обе записи: слагаемые sin 4x с противоположными знаками сокращаются, а два слагаемых ½ sin 10x дают sin 10x.
При x = π/20 имеем 10x = π/2. Поэтому значение выражения равно sin(π/2) = 1. Здесь использовали значение синуса специального угла.
Ответ: выражение упрощается до sin 10x; при x = π/20 его значение равно 1.
Забывают множитель ½ и записывают результат вдвое больше нужного. Это происходит, когда после сложения или вычитания равенств замечают удвоенное произведение, но не делят обе части на 2. Проверьте вывод: если справа стоит сумма двух функций, перед ней должен быть множитель ½.
В формуле произведения синусов меняют знак и пишут cos(α − β) + cos(α + β). Обычно путают её с формулой произведения косинусов, где действительно стоит плюс. Для проверки вспомните порядок вычитания: сначала косинус разности, затем из него вычитают косинус суммы.
При произведении cos α · sin β используют формулу sin α · cos β и сохраняют знак плюс перед sin(α − β). Причина ошибки — представление, что множители можно переставить без изменений формулы, хотя их перестановка меняет соответствие аргументов и знак. Перед подстановкой запишите, какой множитель является синусом, а какой косинусом, и сверьтесь с таблицей.
Неверно упрощают аргументы, например считают 3x − x = 4x. Так бывает, если знак вычитания теряется при раскрытии скобок или смешивается с правилом для самих тригонометрических функций. Сначала упростите линейные выражения отдельно: 3x − x = 2x, а затем подставьте результат в аргумент функции.
Для вывода формул преобразования произведения в сумму необходимы формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов. Также пригодятся чётность косинуса и нечётность синуса: они помогают менять знак аргумента и упрощать результат. При подстановке аргументов важно уметь складывать и вычитать линейные выражения, например 5x − 2x = 3x.
Эти формулы используют при упрощении тригонометрических выражений и вычислении сумм, когда произведения удобнее заменить отдельными функциями. Позднее тот же приём встречается при интегрировании произведений функций. Освоив выбор формулы и работу со знаками, проще распознавать, как преобразовать выражение в удобный вид.
Как выбрать формулу для преобразования конкретного произведения?
Посмотрите на множители: синус на синус преобразуется через косинусы с минусом, косинус на косинус — через косинусы с плюсом. Если множители разные, результат записывается через синусы суммы и разности аргументов; при этом порядок множителей определяет знак.
Почему во всех формулах появляется множитель 1/2?
Формулы получают, складывая или вычитая два равенства для функций от суммы и разности углов. В результате произведение оказывается равным половине полученной суммы или разности, поэтому появляется множитель ½.
Почему в формуле произведения синусов стоит минус?
При вычитании формул для косинуса суммы и разности члены с cos α cos β сокращаются, а члены с синусами дают удвоенное произведение. После преобразования получается cos(α − β) − cos(α + β), то есть разность, а не сумма.
Чем отличаются формулы для sin α · cos β и cos α · sin β?
В первом произведении получается ½[sin(α + β) + sin(α − β)], а во втором — ½[sin(α + β) − sin(α − β)]. При перестановке синуса и косинуса меняется знак перед синусом разности, поэтому важно сохранять порядок аргументов.
Можно ли использовать формулы, если аргументы выражены через разные переменные?
Да. Аргументами могут быть любые выражения, например x и 2y: в формулу подставляют их как α и β. Затем отдельно упрощают сумму и разность этих выражений.
§ 23. Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы
