"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Основные формулы тригонометрии связывают значения функций нескольких углов со значениями функций исходных углов. С их помощью находят синусы, косинусы и тангенсы сложных углов, упрощают выражения и решают тригонометрические уравнения. Главное — правильно различать знаки в формулах суммы и разности, учитывать четверть угла и проверять допустимость знаменателей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус суммы и разности выражается формулой sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. Знак между слагаемыми справа такой же, как в скобках слева. Формула нужна, чтобы заменить функцию сложного угла произведениями функций более простых углов.
Косинус суммы и разности задаётся формулой cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Знак перед произведением синусов противоположен знаку в скобках: для суммы стоит «−», для разности — «+». Это позволяет вычислять косинусы углов, представленных суммой или разностью известных углов.
Формулы двойного угла получают, когда складываются два одинаковых угла: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos² α − sin² α. Для тангенса используется tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α), если выражение определено. Они связывают функцию угла 2α со значениями функций угла α.
Формулы приведения преобразуют функции углов вида π/2 ± α и π ± α к функциям угла α. При этом иногда меняется название функции, а знак определяется положением итогового угла на координатной плоскости. Такие формулы сокращают вычисления и помогают работать с отрицательными и большими углами.
Формулы суммы следуют из поворота точки на единичной окружности. Точка, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α, sin α), а поворот на β изменяет координаты по правилам поворота: новая абсцисса равна cos α cos β − sin α sin β, а новая ордината — sin α cos β + cos α sin β. Так как после поворота получается точка угла α + β, эти координаты и дают формулы cos(α + β) и sin(α + β).
Чтобы получить разность, в формулах суммы заменяют β на −β. Синус нечётен: sin(−β) = −sin β, поэтому знак у слагаемого с синусом меняется; косинус чётен: cos(−β) = cos β, поэтому его знак не меняется. В результате sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β, а cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β.
Если в формулах суммы положить β = α, угол α + β станет равен 2α. Получаем sin 2α = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α и cos 2α = cos² α − sin² α. Используя sin² α + cos² α = 1, можно заменить cos² α на 1 − sin² α или sin² α на 1 − cos² α, поэтому cos 2α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1.
Формулы половинного угла появляются, если в равенствах двойного угла заменить α на α/2. Из cos α = 1 − 2 sin²(α/2) и cos α = 2 cos²(α/2) − 1 получают sin²(α/2) = (1 − cos α)/2 и cos²(α/2) = (1 + cos α)/2. После извлечения корня знак нельзя выбирать автоматически: он определяется четвертью угла α/2.
| Группа формул | Формулы |
|---|---|
| Синус суммы и разности | sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β |
| Косинус суммы и разности | cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β |
| Тангенс суммы и разности | tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β), при допустимых значениях |
| Двойной угол | sin 2α = 2 sin α cos α; cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1 |
| Тангенс двойного угла | tg 2α = 2 tg α/(1 − tg² α), при допустимых значениях |
| Половинный угол | sin²(α/2) = (1 − cos α)/2; cos²(α/2) = (1 + cos α)/2 |
| Формулы приведения | Значения функций углов π/2 ± α и π ± α со знаками, определяемыми четвертью |
Таблица помогает выбрать формулу по виду выражения: сначала распознайте сумму, разность, двойной или половинный угол. В формулах тангенса проверьте, что все входящие значения существуют, а знаменатель не равен нулю. Для формул приведения отдельно определяйте название функции и её знак.
Угол 75° удобно представить как 45° + 30°, потому что значения функций для 30° и 45° известны. Для синуса используем формулу суммы, а для косинуса — формулу косинуса суммы. Затем приводим результат к точному виду.
Ответ: sin 75° = (√6 + √2)/4, cos 75° = (√6 − √2)/4.
В выражении уже видна одна из формул косинуса двойного угла. Поэтому сначала заменяем всё выражение одной функцией, а затем подставляем значение угла. Такой порядок избавляет от лишних вычислений.
Ответ: 1 − 2 sin² x = cos 2x; при x = π/6 значение равно 1/2.
Одного значения синуса недостаточно для непосредственного применения всех формул двойного угла: нужно найти cos α и tg α. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому знак выбираем после использования основного тождества. В конце проверяем знаменатель формулы тангенса двойного угла.
Ответ: sin 2α = −24/25, cos 2α = 7/25, tg 2α = −24/7.
В формуле cos(α ± β) иногда оставляют тот же знак перед произведением синусов. Так происходит, потому что формулу путают с формулой синуса. Проверка проста: в косинусе знак противоположен знаку в скобках.
В sin(α − β) бывает меняют знак только у аргумента и забывают изменить знак второго слагаемого. Причина ошибки — механическая подстановка без отслеживания нечётности синуса. Запишите формулу целиком: sin α cos β − cos α sin β.
При извлечении корня из формул половинного угла часто автоматически ставят плюс. Квадрат действительно не различает знак, но сама функция может быть отрицательной. Определите четверть угла α/2 и только после этого выбирайте знак корня.
Формулы тангенса применяют без проверки знаменателя и существования входящих тангенсов. В результате можно получить выражение, которое не имеет смысла. До вычислений проверьте, что cos α и нужный знаменатель не равны нулю.
Перед изучением темы нужны единичная окружность, определения sin, cos, tg и ctg, знаки функций по четвертям и тождество sin² α + cos² α = 1. Новые формулы применяются при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Формулы половинного угла и приведения помогают вычислять значения функций и исследовать их свойства.
Как запомнить формулы синуса и косинуса суммы?
В формуле синуса знак между двумя слагаемыми сохраняется: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. В формуле косинуса произведения перемножаются так же, но знак перед вторым произведением меняется на противоположный.
Почему в формуле косинуса знак меняется на противоположный?
При повороте точки на угол β координаты преобразуются так, что вклад произведения sin α sin β входит с минусом для суммы. Поэтому cos(α + β) содержит «−», а cos(α − β) — «+».
Как получить формулу двойного угла из формулы суммы?
В формуле суммы нужно положить β = α. Например, sin(α + β) превращается в sin 2α = 2 sin α cos α, а формула косинуса даёт cos 2α = cos² α − sin² α.
Как выбрать знак при использовании формул половинного угла?
Сначала находят квадрат функции по формуле половинного угла, а затем извлекают корень. Знак выбирают по четверти, в которой находится угол α/2: там определяют, положительны или отрицательны синус и косинус.
Как определить знак функции в формуле приведения?
Нужно определить четверть, в которую попадает итоговый угол, и вспомнить знаки функций в этой четверти. После этого выясняют, сохраняется ли название функции при сдвиге на π/2: синус переходит в косинус, а косинус — в синус.
Основные формулы тригонометрии
