§ 24. Предел последовательности

Определения и обозначения

Числовая последовательность — это функция, заданная на натуральных числах: каждому номеру n соответствует число aₙ. Запись (aₙ) обозначает всю последовательность, а aₙ — отдельный её член с номером n. Например, если aₙ = 1/n, то её члены равны 1, ½, ⅓ и так далее. Такое обозначение позволяет описывать бесконечный набор чисел одной формулой.

Предел последовательности — число a, к которому её члены приближаются при неограниченном увеличении номера n. Записывают limₙ→∞ aₙ = a. Это не означает, что какой-то член обязательно равен a: существенным является поведение членов с большими номерами. Предел нужен, чтобы выразить итоговое поведение всей последовательности одним числом.

Сходящейся называют последовательность, имеющую конечный предел. Строго говоря, для любого ε > 0 найдётся номер N такой, что при всех n > N выполняется |aₙ − a| < ε. Здесь ε — допустимое расстояние до предела, а N указывает, с какого места все члены достаточно близки к a. Определение позволяет проверить сходимость, не полагаясь только на наблюдение за несколькими членами.

Расходящаяся последовательность не имеет конечного предела. Причина может быть в неограниченном росте, как у aₙ = n, или в колебаниях, как у aₙ = (−1)ⁿ. В первом случае члены не остаются около какого-либо конечного числа, во втором — продолжают перескакивать между значениями. Эти примеры показывают два разных способа отсутствия предела.

Как это устроено

Интуитивно предел означает, что начиная с некоторого места члены оказываются сколь угодно близко к одному числу. Например, если требуется расстояние не больше одной десятой, достаточно посмотреть достаточно далёкие члены; если потом потребовать сотую долю, понадобится, возможно, более далёкий участок. Именно возможность приблизиться с любой точностью отличает предел от просто похожих значений в начале последовательности.

В определении для каждого ε нужен свой номер N, потому что более строгая точность может потребовать большего номера. Сначала выбирают ε, а затем находят подходящее N; поэтому N может зависеть от ε. Условие проверяют для всех n > N, а не для одного удачно выбранного члена: иначе следующие члены могли бы снова удалиться от предполагаемого предела. Граница N отделяет начальные члены, которые могут вести себя иначе, от всего дальнейшего хвоста последовательности.

Близость к пределу записывают неравенством |aₙ − a| < ε. Модуль разности измеряет расстояние между членом aₙ и числом a, поэтому условие означает, что это расстояние меньше ε. Если раскрыть модульное неравенство, получится a − ε < aₙ < a + ε, то есть aₙ принадлежит интервалу (a − ε; a + ε). Так определение можно представить как попадание всех достаточно далёких членов в сколь угодно узкий интервал вокруг a.

По поведению членов можно предположить, сходится ли последовательность, но окончательное основание даёт определение. У последовательности 1/n знаменатель растёт, поэтому дробь становится меньше любого заданного положительного ε при достаточно большом n; значит, её предел равен нулю. Члены (−1)ⁿ поочерёдно равны −1 и 1, так что они не сближаются с одним числом. Эта пара примеров показывает разницу между приближением к значению и постоянными колебаниями.

Чтобы находить предел последовательности, заданной формулой, полезно упростить выражение и выделить части, стремящиеся к нулю. Например, в 5 + 2/n постоянная часть остаётся равной 5, а дробь 2/n уменьшается без границ по точности и приближается к нулю. Значит, всё выражение приближается к 5. Такой способ помогает сначала угадать предел, а затем обосновать его через разность с предполагаемым ответом.

Сходимость последовательностей: определение и примеры

В первой строке таблицы записан общий критерий близости к пределу, а остальные строки показывают частные случаи сходимости и расходимости. Сравнивайте не только величину членов, но и то, приближаются ли они к одному числу. Помните, что ограниченные колебания тоже могут не иметь предела.

Разбор задач

Задача 1. Для последовательности aₙ = 3 + 1/n предположить предел и обосновать, что члены приближаются к нему.

1. Слагаемое 1/n стремится к нулю, поэтому предполагаемый предел — 3.
2. Вычтем 3 и найдём расстояние: |aₙ − 3| = |3 + 1/n − 3| = 1/n.
3. При увеличении n величина 1/n становится сколь угодно малой. Для любого ε > 0 можно взять N > 1/ε; тогда при n > N выполняется 1/n < ε.
4. Значит, все члены после номера N находятся от 3 ближе чем на ε, что подтверждает предположение.

Ответ: limₙ→∞ aₙ = 3.

Задача 2. По определению доказать, что предел последовательности aₙ = 2n/(n + 1) равен 2.

1. Сначала предполагаем предел 2: дробь по мере роста n приближается к отношению 2n/n.
2. Вычислим расстояние до предполагаемого предела: |aₙ − 2| = |2n/(n + 1) − 2| = 2/(n + 1).
3. Требуем, чтобы 2/(n + 1) < ε. Это будет верно, если n + 1 > 2/ε; поэтому можно выбрать натуральное N, удовлетворяющее N + 1 > 2/ε.
4. При каждом n > N неравенство сохраняется, следовательно, |aₙ − 2| < ε для всех таких n. Это и есть определение предела.

Ответ: limₙ→∞ 2n/(n + 1) = 2.

Задача 3. Определить, имеет ли конечный предел последовательность aₙ = (−1)ⁿ + 1/n.

1. Разделим номера на чётные и нечётные, потому что знак (−1)ⁿ зависит от чётности.
2. Если n чётное, то (−1)ⁿ = 1, поэтому aₙ = 1 + 1/n; такие члены приближаются к 1.
3. Если n нечётное, то (−1)ⁿ = −1, поэтому aₙ = −1 + 1/n; эти члены приближаются к −1.
4. Одна последовательность не может иметь два разных предела. Так как две группы членов стремятся к разным числам, вся последовательность не приближается к одному значению.

Ответ: конечного предела нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что члены последовательности обязательно должны стать равными пределу. Такое ожидание возникает, если понимать «приближается» как «достигает», но определение требует только сколь угодно малой разности. Например, 1/n никогда не равно нулю, хотя стремится к нулю. Проверьте себя: ищите условие |aₙ − a| < ε, а не равенство aₙ = a.

Нельзя подтверждать близость к пределу проверкой нескольких отдельных больших n. Даже если выбранные члены близки, один из последующих может оказаться далеко от предполагаемого значения. Требование относится ко всем n > N именно для того, чтобы исключить такой случай. Проверяйте, что после выбранного номера нужное неравенство выполняется для каждого следующего n.

При работе с кванторами важно сначала выбрать ε, а уже потом подобрать N. Иногда порядок путают и ищут один номер, который подходит для всех возможных точностей; определение этого не требует. Чем меньше ε, тем большее N может понадобиться. Перед завершением доказательства убедитесь, что N выражен через ε и условие доказано при всех n > N.

Ещё одна ошибка — заключать, что последовательность сходится, потому что её члены ограничены. Ограниченность означает лишь, что все члены остаются в некотором промежутке, но они могут продолжать колебаться внутри него. Так ведёт себя (−1)ⁿ: значения ограничены, однако одного предела нет. Для проверки сходимости нужно исследовать приближение к одному числу, а не только наличие верхней и нижней границ.

Связь с другими темами

Для определения предела нужны знания о модуле и неравенствах: условие |aₙ − a| < ε переводится в попадание члена в интервал. Также пригодится умение преобразовывать дроби и работать с формулой общего члена последовательности. Эти навыки помогают оценить расстояние до предполагаемого предела и подобрать N. Позже предел последовательности станет опорой для изучения пределов функций, непрерывности и производной.

Что запомнить

• Предел — число, к которому члены последовательности приближаются при n → ∞.
• Условие |aₙ − a| < ε должно выполняться для всех n > N.
• N может зависеть от ε.
• Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
• Последовательность 1/n сходится к нулю.
• Ограниченность последовательности не означает её сходимости.