"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из членов, каждый из которых в q раз больше предыдущего. Её сумму нельзя получить простым сложением бесконечного числа слагаемых: её определяют как предел сумм первых n членов. Конечный результат существует, если |q| < 1, и находится по формуле S = b₁/(1 − q), где b₁ — первый член, а q — знаменатель прогрессии. Поэтому сначала находят q и проверяют условие сходимости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получают умножением предыдущего на одно и то же число. Например, в последовательности 3, 6, 12, … каждый член вдвое больше предыдущего. Это определение позволяет описать, как меняются члены, и получить формулы для них.
Знаменатель геометрической прогрессии q — число, на которое умножают каждый член, чтобы получить следующий; его находят как отношение соседних членов: q = bₙ₊₁/bₙ. Так, если соседние члены равны 6 и 3, то q = 3/6 = ½. Зная знаменатель, можно восстановить всю последовательность по первому члену.
Бесконечная геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия, продолжающаяся без конца: b₁, b₂, b₃, … Многоточие показывает, что после любого записанного члена следует следующий. Такая запись нужна, когда исследуют не только несколько первых чисел, но и поведение всей последовательности.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии — предел сумм её первых n членов, если этот предел существует и конечен. Предел здесь означает число, к которому всё ближе становятся конечные суммы при увеличении n. Поэтому бесконечную сумму нельзя понимать как обычное сложение бесконечного числа слагаемых.
Пусть первый член равен b₁, а каждый следующий получается умножением на q. Тогда второй член — b₁q, третий — b₁q², и так далее: в каждом шаге множитель q появляется ещё один раз. Поэтому n-й член записывают формулой bₙ = b₁qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов складывает эти члены, и для неё можно вывести формулу через b₁ и q.
При q ≠ 1 сумма первых n членов равна Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Формула получается из записи Sₙ = b₁ + b₁q + … + b₁qⁿ⁻¹: если умножить сумму на q и вычесть полученное выражение, промежуточные слагаемые сократятся. Чтобы узнать, существует ли бесконечная сумма, нужно посмотреть, к чему стремится часть формулы, зависящая от n, — степень qⁿ.
Если |q| < 1, каждое следующее умножение уменьшает модуль степени, поэтому qⁿ стремится к нулю при росте n. В формуле Sₙ слагаемое qⁿ тогда исчезает в пределе, а остаётся b₁/(1 − q). Это конечное число и есть сумма бесконечной прогрессии: S = b₁/(1 − q). Например, при q = ½ добавляемые члены становятся всё меньше.
Если |q| ≥ 1 и b₁ ≠ 0, степени qⁿ не стремятся к нулю. При q > 1 они растут, при q = −1 чередуются между 1 и −1, а при |q| > 1 их модуль растёт. Следовательно, члены прогрессии не приближаются к нулю, и суммы первых n членов не имеют конечного предела. При q = 1 каждый член равен b₁, поэтому Sₙ = nb₁ и при b₁ ≠ 0 тоже нет конечной суммы.
Формулу S = b₁/(1 − q) применяют только после проверки условия |q| < 1. Это важно и при отрицательном знаменателе: например, если q = −½, то 1 − q = 1 − (−½) = 1½, а не ½. Проверка знаков помогает не получить неверный результат даже тогда, когда знаменатель найден правильно.
| Условие | Поведение qⁿ | Сумма первых n членов Sₙ | Сумма бесконечной прогрессии |
|---|---|---|---|
| |q| < 1 | qⁿ стремится к 0 | b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) | b₁/(1 − q) |
| |q| ≥ 1 при b₁ ≠ 0 | qⁿ не стремится к 0 | Не имеет конечного предела | Не существует |
| q = 1 | qⁿ = 1 | nb₁ | Не существует при b₁ ≠ 0 |
Сначала найди строку, соответствующую своему q, и проверь поведение степеней. Если выполняется |q| < 1, используй последнюю колонку, подставив b₁ и q. При других условиях формула суммы бесконечной прогрессии не даёт конечного результата.
Сначала определим знаменатель по двум соседним членам, а затем проверим, можно ли применять формулу бесконечной суммы. Первый член равен 12, а каждый следующий вдвое меньше предыдущего. Значит, модули членов уменьшаются, и можно ожидать конечную сумму.
Деление на ½ увеличивает 12 в два раза. Условие сходимости выполнено, поэтому найденное значение действительно является суммой бесконечной прогрессии. Ответ: 24.
Здесь соседние члены имеют разные знаки, поэтому знаменатель будет отрицательным. Это не запрещает находить сумму: нужно проверить модуль q, а в формуле внимательно раскрыть знак в выражении 1 − q. Члены чередуются, но их модуль уменьшается.
В знаменателе получилось 3/2, потому что вычитание отрицательного числа превращается в сложение. Так мы учитываем знаки чередующихся членов и не подменяем 1 − q выражением 1 + q без основания. Ответ: 16/3.
Известны сумма и первый член, поэтому подставим их в формулу S = b₁/(1 − q). Полученное уравнение нужно решить относительно q, а затем проверить условие задачи. Проверка необходима: не любое решение уравнения автоматически подходит для бесконечной суммы.
Найденное значение подходит не только уравнению, но и условию существования суммы. При q = 2/5 формула действительно даёт 9/(1 − 2/5) = 15. Ответ: q = 2/5.
Первая ошибка — подставлять числа в формулу S = b₁/(1 − q), не проверив |q| < 1. Формулу запоминают, но забывают, что она получена как предел, который существует только при стремлении qⁿ к нулю. Перед вычислением отдельно найди модуль знаменателя и сравни его с единицей; если условие не выполнено, конечной суммы нет.
Вторая ошибка — считать бесконечную сумму обычной суммой нескольких первых членов. Так получают только Sₙ, а не предел сумм при n → ∞. Чтобы проверить себя, спроси: учтено ли поведение оставшихся членов, и стремится ли Sₙ к найденному числу? Без этого конечная сумма служит лишь приближением.
Третья ошибка — записать в формуле знаменатель 1 + q вместо 1 − q. Особенно легко допустить её при отрицательном q, когда минус уже содержится в значении знаменателя прогрессии. Сначала подставь q в скобки, например 1 − (−½), и только потом упростить выражение; так знак не потеряется.
Четвёртая ошибка — перепутать b₁ и q или найти q как разность соседних членов. Первый член — это начальное значение последовательности, а знаменатель — отношение следующего члена к предыдущему. Проверка проста: умножь найденный предыдущий член на q и убедись, что получился следующий; если использована разность, такое правило обычно не сработает.
Для работы с бесконечной суммой понадобятся определение геометрической прогрессии, формула её n-го члена и формула суммы первых n членов. Переход от конечной суммы к бесконечной опирается на понятие предела последовательности и на поведение степеней q при n → ∞. Позже это знание поможет записывать периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей. Оно также пригодится при изучении пределов.
Почему для суммы бесконечной прогрессии требуется условие |q| < 1?
При |q| < 1 степени qⁿ стремятся к нулю, поэтому добавляемые члены становятся всё меньше, а суммы первых n членов приближаются к конечному числу. Если |q| ≥ 1 и b₁ ≠ 0, члены не стремятся к нулю, поэтому конечного предела сумм нет.
Как найти знаменатель геометрической прогрессии по двум соседним членам?
Раздели любой член, начиная со второго, на предыдущий: q = bₙ₊₁/bₙ. Например, для членов 12 и 6 знаменатель равен 6/12 = ½.
Можно ли применять формулу суммы, если q больше единицы?
Нет, формула S = b₁/(1 − q) для суммы бесконечной прогрессии применима при |q| < 1. Если q > 1 и b₁ ≠ 0, члены прогрессии не стремятся к нулю, так что конечной суммы нет.
Что делать, если знаменатель прогрессии отрицательный?
Отрицательный q допустим: члены будут чередовать знаки. Проверь модуль знаменателя; если |q| < 1, используй ту же формулу S = b₁/(1 − q), внимательно вычисляя выражение в знаменателе.
Чем сумма бесконечной прогрессии отличается от суммы первых нескольких членов?
Сумма первых n членов складывает только конечное число членов и обозначается Sₙ. Сумма бесконечной прогрессии — это предел Sₙ при n → ∞, если он существует и конечен.
§ 25. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
