§ 31. Методы решения тригонометрических уравнений

Определения и обозначения

Тригонометрическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в аргумент синуса, косинуса, тангенса или другой тригонометрической функции. Например, sin x = ½ содержит неизвестное x внутри функции. Его корни обычно записывают сериями с параметром k ∈ Z, потому что значения тригонометрических функций повторяются через период.

Разложение на множители — преобразование уравнения к виду произведения, равного нулю. Затем каждый множитель приравнивают к нулю и решают полученные уравнения. Такой приём нужен, чтобы заменить одно сложное условие несколькими простыми.

Однородное тригонометрическое уравнение — уравнение, все слагаемые которого содержат синусы и косинусы одной и той же общей степени. Например, 3 sin² x − 4 sin x cos x + cos² x = 0 является однородным второй степени. Это позволяет после проверки cos x = 0 разделить слагаемые на cos² x и перейти к тангенсу.

Введение вспомогательного аргумента — представление выражения a sin x + b cos x через одну функцию с аргументом x + φ. При этом a sin x + b cos x = R sin(x + φ), где R = √(a² + b²). Преобразование удобно, когда в уравнении есть линейная комбинация синуса и косинуса.

Как это устроено

Решение начинают со структуры записи, потому что разные формы уравнений сокращаются разными тождествами. Сначала ищут общий множитель, разность квадратов, одинаковые степени sin x и cos x или повторяющееся выражение, которое можно обозначить новой переменной. Такой просмотр помогает не выполнять лишние преобразования и выбрать короткий путь.

При разложении на множители используют правило нулевого произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому достаточно решить уравнения, полученные из всех множителей, а затем объединить их решения. Нельзя ограничиваться одним множителем, поскольку остальные тоже могут давать корни.

Если уравнение содержит степени одной функции или выражения, связанные тождеством sin² x + cos² x = 1, вводят замену. Например, при t = sin x выражение cos² x заменяют на 1 − t² и получают алгебраическое уравнение относительно t. После его решения проверяют условие −1 ≤ t ≤ 1 и только затем решают исходное тригонометрическое уравнение.

В однородном уравнении деление на cosⁿ x превращает отношения sin x/cos x в tg x, поэтому задача становится алгебраической. Но делитель может быть равен нулю, а деление на ноль недопустимо и способно удалить корни. Сумму a sin x + b cos x преобразуют к виду R sin(x + φ), чтобы использовать известные формулы простейших уравнений и сразу учитывать диапазон значений: −R ≤ R sin(x + φ) ≤ R.

Выбор метода решения тригонометрического уравнения

Сначала сопоставьте вид уравнения со вторым столбцом таблицы. Затем выполните основной шаг и обязательно проведите проверку из последнего столбца: именно там чаще всего предотвращаются потеря корней и появление лишних решений.

Разбор задач

Рассмотрим три уравнения, каждое из которых показывает отдельный приём. В записи ответа k ∈ Z, если не указано иное. После преобразований проверяем, что полученные значения действительно удовлетворяют исходному условию.

1. Разложение на множители

Условие: решить уравнение 2 sin x cos x − sin x = 0.

1. В обоих слагаемых есть sin x, поэтому выносим его за скобки: sin x(2 cos x − 1) = 0.
2. По правилу нулевого произведения рассматриваем два уравнения: sin x = 0 и 2 cos x − 1 = 0.
3. Получаем x = πk или cos x = ½, откуда x = 2πk ± π/3.

Ответ: x = πk или x = 2πk ± π/3, k ∈ Z.

2. Замена выражения

Условие: решить уравнение 2 cos² x + 3 sin x − 3 = 0.

1. Заменяем cos² x на 1 − sin² x: 2(1 − sin² x) + 3 sin x − 3 = 0.
2. Обозначаем t = sin x и упрощаем: 2t² − 3t + 1 = 0. Корни квадратного уравнения: t = 1 и t = ½.
3. Оба значения допустимы, так как лежат в отрезке [−1; 1]. Поэтому sin x = 1 даёт x = π/2 + 2πk, а sin x = ½ даёт x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.

Ответ: x = π/2 + 2πk, x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

3. Однородное уравнение

Условие: решить уравнение 3 sin² x − 4 sin x cos x + cos² x = 0.

1. Проверяем cos x = 0: тогда sin² x = 1, а левая часть равна 3, поэтому такие x не являются корнями.
2. Теперь cos x ≠ 0, делим уравнение на cos² x и получаем 3tg² x − 4tg x + 1 = 0.
3. Обозначаем y = tg x: 3y² − 4y + 1 = 0, откуда y = 1 или y = 1/3. Следовательно, x = π/4 + πk или x = arctg(1/3) + πk.

Ответ: x = π/4 + πk или x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z.

Типичные ошибки

Деление без проверки. Нельзя сразу делить на sin x или cos x: делитель может обращаться в ноль, а вместе с ним исчезнет часть корней. Сначала рассмотрите случай нулевого делителя, затем выполняйте деление и проверьте ответ в исходном уравнении.

Недопустимое значение замены. После t = sin x иногда оставляют любой корень алгебраического уравнения. Синус не бывает меньше −1 или больше 1, поэтому сравните каждый найденный t с отрезком [−1; 1].

Неполное разложение. Из произведения, равного нулю, нельзя выбирать только один множитель. Приравняйте к нулю каждый множитель, решите все полученные уравнения и объедините серии корней.

Один корень вместо серии. Запись x = π/6 не описывает все решения уравнения sin x = ½. Используйте период функции и симметрию: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.

Связь с другими темами

Для решения нужны значения и свойства синуса, косинуса и тангенса, их периоды, основное тождество sin² x + cos² x = 1 и формулы простейших тригонометрических уравнений. Без этих сведений нельзя корректно восстановить x после замены или записать все периодические корни.

Освоенные методы используются в более сложных тригонометрических уравнениях, где несколько приёмов применяются последовательно. Они также встречаются в смешанных задачах с алгебраическими заменами, квадратными уравнениями и преобразованием выражений.

Что запомнить

• Сначала определяют структуру уравнения, затем выбирают метод.
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из его множителей равен нулю.
• После замены переменной нужно вернуться к исходной тригонометрической функции.
• Перед делением на выражение с неизвестной проверяют, не равно ли оно нулю.
• Для линейной комбинации синуса и косинуса используют вспомогательный аргумент.
• В ответ включают все корни с учётом периода тригонометрических функций.